Материалы сайта
Это интересно
Электростатика
Ротор. Теорема Стокса. Если в движущеёся жидкости с распределением скоростей от [pic] до [pic] выделить контур Г, а остальную жидкость мгновенно заморозить, то в этом контуре будет продолжаться движение жидкости. Мерой такого действия является произведение скорости жидкости в контуре на длину контура. Эту величину называют циркуляцией вектора [pic] по контуру Г. Циркуляция = [pic] Циркуляция обладает свойством аддитивности, т.е. циркуляция по контуру Г будет равна сумме циркуляций по контурам Г1 и Г2. Благодаря такому свойству можно ввести понятие удельной циркуляции в точке Р – это векторная величина, называемая ротором или вихрем. [pic] Рассмотрим циркуляцию по элементарному квадрату в декартовой системе координат. [pic] Знак минус ставится тогда, когда направления cx не совпадает с направлением обхода. Учитывая, что [pic], получим: [pic] Аналогично для сторон квадрата 2 и 4: [pic], Тогда циркуляция по квадрату будет равна: [pic], где S – площадь квадрата. Разделив циркуляцию на [pic], найдём проекции [pic] на оси координат: [pic] (1*) [pic] (2*) [pic] (3*) Любое из выражений (1*) - (3*) можно получить из предыдущего путём циклической системы координат. Для уравнения (1*) предыдущим является уравнение (3*). Таким образом, ротор вектора [pic] в декартовой системе координат будет иметь вид: [pic] Если известно, что ротор каждой точки поверхности S охватывается контуром Г, то можно вычислить и циркуляцию по этому контуру: [pic] Теорема Стокса: циркуляция вектора [pic] по замкнутому контуру равна потоку вектора rot[pic] через площадку S, ограниченную этим контуром. Отметим, что [pic] Мы рассмотрим три вида сочетаний, в которые входит оператор (намбла) [pic] Используя эти сочетания, можно пространственные вариации полей записать в виде независимых от той или иной совокупности осей координат.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14