Материалы сайта
Это интересно
Электростатика
Электромагнитное поле. - это дискретное явление, при котором минимальный заряд равен заряду электрона. q e = [pic]-19 Кл q p = [pic]-19 Кл Fкул =[pic] , [pic]= [pic], [pic] [pic] где q – источник электрического поля [pic]- пробный заряд [pic] - указывает направление. (Рисунок) Электростатическое поле в вакууме. (поле неподвижных зарядов) 1. Напряжённость электростатического поля. [pic] [pic] - напряжённость поля, созданного точечным зарядом [pic] (Рисунок) [pic] Для непрерывного распределения заряда суммирование определяется всеми зарядами в произвольной точке пространства: [pic] - по всему объёму тела (Рисунок) [pic] Пример. (Рисунок) [pic], [pic] , [pic]-? точка О – начало отсчёта [pic] [pic] [pic] 2. Линии вектора напряжённости. - линии, направления которых в каждой точке совпадают с вектором напряжённости. Количество линий, пересекающих единичную перпендикулярную поверхность должно быть равно модулю вектора напряжённости. (Рисунок) [pic] 3. Поток вектора напряжённости. Количество линий напряжённости пронизывающих данную поверхность: [pic] (по поверхности) (Рисунок) Если [pic] и [pic] = const, то [pic]. Теорема Гаусса. Поток вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью, делённых на электрическую постоянную. [pic] (Рисунок) [pic] [pic] - принцип суперпозиции. Результирующий вектор напряжённости равен векторной сумме векторов напряжённости входящих зарядов. [pic] Расчёт напряжённости с помощью теории Гаусса. Можно выбрать расчёт dS так, чтобы E можно было вынести за знак интеграла. 1. Напряжённость поля однородно заряженного шара. (Рисунок) [pic] [pic] а) если r > R, то [pic] [pic] б) если r < R, (Рисунок) то [pic] [pic], [pic] [pic] (Рисунок) Замечание. 1) При неоднородном распределении заряда (но сохраняется сферическая симметрия): [pic][pic] [pic] , где [pic] (Рисунок) 2) Если заряда внутри нет, то и поля внутри нет. Если имеется поле, то внутри поле отсутствует. (Рисунок) Расчёт напряжённости бесконечной плоскости (заряженной). [pic] (Рисунок) Поток через замкнутую поверхность цилиндра равен потоку основания и боков поверхности. [pic] [pic], [pic] [pic] (Рисунок) Поле однородно заряженного бесконечного цилиндра. (Рисунок) [pic] [pic], [pic] r > R, [pic], [pic] (Рисунки) [pic] Для цилиндрической оболочки поле внутри отсутствует. [pic] Для получения используют теорему Остроградского. [pic]- дивергенция. [pic] [pic] [pic], где [pic] Потенциал электрического поля. ( - отношение потенциальной энергии точечного пробного заряда, помещённого в другую точку поля, к величине этого заряда. [pic] Докажем консервативность сил и потенциальность электрических сил поля. (Рисунок) [pic] Связь между напряжённостью и потенциалом. [pic] [pic] [pic] Рассмотрим в дифференциальном виде: [pic] (Рисунки) Элементы математической теории поля. Полем называется волна, зависящая от положения в пространстве (является функцией координат). Поле называется стационарным, если оно не меняется с течением времени. Скалярное поле – это такое поле, которое в каждой точке пространства характеризуется одним единственным числом (например, температурное поле). Векторное поле – это такое поле, которое в каждой точке пространства характеризуется вектором (например, поле скоростей в потоке жидкости). Градиент. Скорость изменения некоторой величины во времени можно описать, задавая её производную по времени t. Если же мы хотим узнать скорость изменения некоторой величины в пространстве, то, очевидно, мы должны взять её производную по координатам x, y, z. (Рисунок) В трёхмерном случае: [pic] или [pic], где [pic]- намбла. [pic] - векторный дифференциальный оператор. Поверхностью уровня – называется геометрическое место точек, в которых скалярная величина имеет одно и тоже значение. В двумерном случае поверхность уровня называется линией уровня. Градиент устанавливает связь между скалярными и векторными характеристиками поля. Дивергенция. Теорема Гаусса. (Рисунок) Рассмотрим поле вектора несжимаемой жидкости. Если поток жидкости в объем V через поверхность S [pic]0, то внутри объёма имеется источник (через который жидкость попадает в объём) или стоки (через которые жидкость исходит из объёма). Преобладание источников над стоками даёт положительный поток жидкости через поверхность. Преобладание стоков – отрицательный. Характеристикой стоков и источников служит величина, называемая дивергенцией – расхождение вектора скорости. [pic], где [pic]- поток вектора скорости через замкнутую поверхность. Таким образом, дивергенция представляет собой удельную мощность источника в точке P и является скалярной функцией координат. (Рисунки) [pic] [pic] Найдём выражение для декартовой системы координат, для чего рассмотрим поток [pic] через элементарный кубик. (Рисунок) Поток из кубика наружу будет равен: [pic]; где [pic] - поток через i грань. Для одной грани: [pic] Проекции векторов [pic] и [pic]связаны соотношениями: [pic] Поток через первую и вторую грани будет равен: [pic] Аналогично получим: [pic][pic] Полный поток: [pic], Отсюда: [pic] Дивергенция связывает векторную величину, характеризующую поле, со скалярной величиной. Зная [pic] в любой точке пространства, можно вычислить её значение через любую замкнутую поверхность конечных размеров. [pic] [pic] [pic] - / теорема Гаусса /. Опыт показывает, что к кулоновским силам применим, рассмотренный в механике, принцип независимости действия сил, т.е. результирующая сила [pic], действующая со стороны поля на приобретённый заряд [pic] равна векторной сумме сил [pic], приложенных к нему со стороны каждого из зарядов [pic]. [pic] (8) [pic] (2) [pic] (3) [pic] (5) [pic] (6) [pic] (7) Согласно (2): [pic] и [pic], Где [pic] - напряжённость результирующего поля. [pic] - напряжённость поля, создаваемого зарядом [pic]. Подставим последнее выражение в (8): [pic] (9) Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей заключается в том, что наложенность напряжённости результирующего поля, создаваемого системой заряда, равна геометрической сумме напряжений полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14