Материалы сайта
Это интересно
Электростатика
Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме. В соответствии с (7), поток вектора напряжённости сквозь сферическую поверхность радиуса R, охватывающую сферический заряд q, находившийся в её центре: (Рисунок) [pic] (10) Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы. Рассмотрим общий случай для произвольной поверхности, окружающей n зарядов. В соответствии с принципом суперпозиции [pic]. Поэтому [pic] [pic], [pic] [pic] (11) (11) – выражает теорему Гаусса для электростатического поля: Поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключённых внутри этой поверхности зарядов, делённых на электрическую постоянную. Если заряд распределён с объёмной плотностью [pic], то [pic] (12) или [pic] (13) Применение теоремы Гаусса к расчёту поля. 1) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда [pic]. (Рисунок) В качестве замкнутой поверхности возьмём цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости. Поток через боковые стенки цилиндра равен нулю, так как линии напряжённости перпендикулярны оси цилиндра и его образующей. Полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков через его основания [pic]. Заряд внутри цилиндра согласно теореме Гаусса: [pic], откуда [pic]. 2) Поле равномерно заряженной сферической поверхности. (Рисунок) Если r >R, то по теореме Гаусса получим: [pic], где[pic], откуда [pic]. Если [pic]< R, то замкнутая поверхность не содержит электрического заряда. Следовательно E = 0. Дивергенция и ротор электростатического поля. Заменяя по теореме Гаусса поверхностный интеграл объёмным, получим: [pic] Подставив вместо [pic] его значение из (13), получим: [pic] Интегралы равны, следовательно равны и подынтегральные выражения. Так получим теорему Гаусса для вектора напряжённости электростатического поля: [pic] (14) (14) – первое фундаментальное уравнение электростатики. Так как [pic], то [pic] (15) (15) - второе основное уравнение электростатики. Оба основных уравнения электростатики эквивалентны закону Кулона, так как сила поля изменяется по закону [pic]. Для любой радиальной силы [pic] выполняемая работа не зависит от пути и существует потенциал. Потенциал электростатического поля. Из механики известно, что [pic]. В нашем случае заряд [pic] перемещается в поле заряда q из точки А в точку В. (Рисунок). Тогда можно записать [pic] Криволинейный путь ab можно представить следующим образом. (Рисунок) На участке [pic] работа равна нулю, так как вектор силы перпендикулярен вектору перемещения. На участке [pic] элементарная работа равна: [pic] [pic] (16) Откуда следует, что потенциальная энергия заряда [pic] в поле заряда q равна: [pic] (17) Потенциальная энергия, как и в механике, определяется не однозначно, а с точностью до производной константы C . Если принять, что при [pic], [pic], то [pic]. Тогда [pic] (18) Для одноимённых зарядов [pic] потенциальная энергия U положительна (отталкивание). Для разноимённых зарядов потенциальная энергия U отрицательна (притяжение). Если поле создаётся системой точечных зарядов, то вследствие принципа суперпозиции: [pic] (19) Из формул (18) и (19) вытекает, что отношение U к [pic] не зависит от [pic] поэтому и является энергетической характеристикой поля - потенциал. [pic] (20) Из формул (19) и (20) следует принцип суперпозиции для потенциала: [pic] (21) Из формул (18) и (20) следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядами q будет: [pic] (22) Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки А в точку В, может быть представлена как [pic] Если [pic], то[pic], следовательно можно записать [pic], откуда [pic] (23) Таким образом потенциал есть физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. [1 В] - потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1Кл обладает энергией в 1Дж. Напряжённость как градиент потенциала. Эквивалент потенциальной поверхности. Найдём взаимосвязь между напряжённостью электростатического поля (его силовая характеристика) и потенциалом (энергетическая характеристика). (Рисунок) Работа по перемещению единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. [pic] (24) [pic] [pic] [pic] [pic] (25) Для трехмерного случая получим: [pic] (26) где [pic] - единичные векторы координат x, y, z. Выражение (26) можно представить в виде: [pic] (27) Знак минус показывает, что вектор напряжённости направлен в сторону меньшего потенциала. В большинстве случаев найти потенциал поля, а затем рассчитать вектор напряжённости. Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля пользуются эквипотенциальными поверхностями, в большинстве точек которых потенциал постоянен. (Рисунок) Вектор напряжённости всегда перпендикулярен касательной эквипотенциальных поверхностей в точках их пересечения. (Рисунок) Чем гуще распределены эквипотенциальные поверхности, тем больше величина напряжённости электростатического поля. У острия напряжённость больше, поэтому заряды стекают с острия. Примеры расчёта потока в вакууме. 1) Поле двух бесконечно параллельных пластин, которые заряжены разноимённо, определяется по формуле: [pic], где [pic] - поверхностная плотность заряда. (Рисунок) [pic] - разность потенциалов между плоскостями. 2) Поле равномерно заряженное сферическими поверхностями радиуса R, заряда q вычисляется по формуле: [pic]при [pic]. Разность потенциалов между произвольной точкой поля и поверхностью сферы будет равна: [pic] Типы диэлектриков. Поляризация диэлектриков. Электрический диполь – система двух равных по модулю разноимённых точечных зарядов, расстояние между которыми меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. (Рисунок) [pic] , где [pic]- электрический момент диполя (дипольный момент) [pic] - плечо диполя. Поляризацией диэлектриков называется явление поляризации диполя или появление под воздействием электрического поля ориентированных по полю диполей. Различают три вида поляризации диэлектриков: - электронная (деформационная) поляризация диэлектриков с неполярными молекулами (N2, H2, O2). (Рисунок) Возникает за счёт деформации электрических полей. - ориентационная (дипольная) поляризация. Заключается в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул (H2O, NH3, CO). (Рисунок) - ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллами – заключается в том, что происходит смещение от кристаллической решётки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных против поля, приводящих к возникновению дипольного момента (NaCl, KCl). (Рисунок) Жидкие кристаллы. Вещество является текучим, то есть является жидкостью и в то же время её свойства анизотронны - подобны кристаллам. | Рисунок | Рисунок | |Нематического типа (дальняя |Смектического типа (одно- или | |упорядочность чисто |двумерная упорядочность в | |ориентационная) |расположении центра масс | | |молекул) | Жидкокристаллические свойства присущи диэлектрикам, характеризующихся вторым типом поляризации. Проводники в электростатическом поле. Вектор напряжённости электростатического поля в проводнике равен нулю ([pic]). Если бы поле не равнялось нулю, то в проводнике возникло бы упорядоченное движение зарядов без затраты энергии от внешнего источника, что противоречит закону сохранения энергии. (Рисунок) На одном конце проводника избыток положителен, на другом – отрицателен. Это индуцирует заряды. Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией. Электрические заряды располагаются на поверхностном слое толщиной в 1- 2 атомных слоя. На этом явлении основана электростатическая защита от влияния внешних электростатических полей.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14