Ģąņåščąėū ńąéņą
Żņī čķņåšåńķī
Įčīōčēčźą
BOHRI AATOMIMUDEL Eelmises lõigus tuletasime valemid, mis kirjeldavad ümber tuuma tiirleva elektroni kiirust ja energiat. Igale elektroni kineetilise energia väärtusele Ek vastaks kindel raadius r. Klassikalise füüsika seisukohtade kohaselt tekitab aga tiirlev elektron muutuva elektromagnetilise välja: elektron on perioodiliselt kord tuumast parmal, siis jälle vasemal, seega ‘pluss’ ja ‘miinus’ vahelduvad nagu televisiooni saateantenni varrastes, vahe on ainult mõõdus ja tiirlemise sageduses. Muutuva elektromagnetilise välja kaudu peaks elektroni tiirlemisenergia välja kiirguma, elektron peaks tuumale lähenema ja lõpuks tuumale kukkuma. Tegelikult seda ei toimu, kõik aatomid maailmas on stabiilsed ja tavaliselt ei kiirga energiat. Selles on klassikalise mehhaanika põhivastuolu tegelikkusega. Seda vastuolu ei saa eletada, see tuleb lihtsalt teadmiseks võtta ja postuleerida, et teatud kindlate energiaväärtuste puhul on elektronide orbiidid aatomis stabiilsed ja energiat ei kiirgu, kuigi põhjus, miks ei kiirgu, ei ole teada. Kui see aga teadmiseks võtta, siis saab sellele üles ehitada uut sorti mehanika – kvantmehaanika. Esimeseses järjekorras tuleb postuleerida, missugused on need orbiidid, millel elektron saab stabiilselt tiirelda ilma energiat kiirgamata. Uurides kuumutatud kehadelt kiirguva valguse spektreid leidis Max Planck (1900) ka siin vastuolu, mis lahenes, kui eeldati, et valgusel on kvantiseloom: valgus kiirgub energiaportsjonite e. kvantide kaupa, millest igaühe energia [pic], kus ? on valguslaine võnkumise sagedus. Lähtudes sellest postuleeris Bohr (1913): elektroni tiirlemisel ümber tuuma elektrmagnetilist lainet (=valgust) ei kiirgu, kui elektron tiirleb orbiitidel millel potentsiaalne on [pic]. Kineetiline energia oli positiivne ja pool potentsiaalsest energiast: [pic], Nendes valemites ? on elektroni tiirlemise sagedus, n aga mingi täisarv 1, 2, 3, 4 jne. Kasutades seost joonkiiruse ja nurkkiiruse vahel, mille abil sagedus teisendatakse joonkiiruseks, saame: [pic] ja [pic] ja võime kirjutada [pic] ehk [pic] või võttes mõlemad pooled ruutu saame: [pic]. Elektrostaatilise tõmbejõu valemist (???) saame massiga m läbi korrutades: [pic] Kahe viimase valemi vasakud pooled on võrdsed. Paremate poolte võrdsustamisel saame avaldada lubatud raadiuse [pic] . Need nn. Bohri raadiused ongi võimalikud raadiused millel elektron saab asuda stabiilselt ilma energiat kiirgamata. Avaldame elektroni kineetilise energia tema massi m ja laengu e kaudu. Selleks asendame r valemisse (???) või (???). Saame [pic] Samale orbiidile vastav potentsiaalne energia [pic] ja koguenergia, mis vastab orbiidile, mida iseloomustab täisarv n [pic] Võimalike naaberorbiitide energiate vahe [pic] Elektroni tiirlemissageduste vahe kahel naaberorbiidil võrdub väljakiiratava (või neelatava) valguse sagedusega kahe orbiidi vahelisel üleminekul: [pic][pic] ja lainepikkus [pic] kus c on valguse kiirus. Arvulisi andmeid: e = 1. 6021892·10-19 kulonit; h= 6.626176·10-34 J·s; me = 9.109534·10-31 kg c = 299792458 m s-1 ke=??? Valem (???) näitab, et elektroni võimalikud tiirlemisraadiused suurenevad võrdeliselt täisarvude ruutudega, seega jada on 1, 4, 9, 16, 25, 36 ... Valem (???) näitab,et elektroni koguenergia võimalikel orbiitidel suureneb raadiuse kasvades pöördvõrdeliselt täisarvu n ruuduga, seega jada oleks [pic] Kõige sügavama energianivoo (põhinivoo) väärtus on vesiniku aatomis -13.6 eV, nivoode jada elektronvoltides oleks siis -13.6; -3.4; -1.5; -0.85; -0.54; -0.38 ...eV Volt (Itaalia teadlase Volta nimest) on elektrivälja potentsiaali (potentsiaalse energia) ühik. Elektrivälja kahe punkti potentsiaalide vahe on üks Volt kui laengu üks kulon viimisel ühest punktist teise tehakse tööd üks J. Ühe elektroni viimisel läbi potentsiaalide vahe üks volt tehakse tööd üks elektronvolt. Energeetiliselt elektronvolt on dzhaulist niisama palju kordi väiksem kui elektroni laeng on väiksem kulonist, seega 1 eV = 1. 6021892·10-19 J. Orbiitide ja energianivoode joonised. Nähtav ja nähtamatu elektromagnetiline kiirgus, valgus. Energianivoode-vahelisel üleminekul kiiratakse kvant kui üleminek toimub tuumale lähemale ja neelatakse kvant kui üleminek toimub tuumast kaugemale. Kvandi energia on niisama suur kui vastavate orbiitide energianivoode vahe. Võtame teadmiseks, et vesiniku sügavaimale energianivoole vastab 13.6 eV ja arvutame sellele üleminekule vastava lainepikkuse. [pic] See on silmale nähtamatu lühilaineline ultraviolett-kiirgus. Silm näeb ‘valgust’, mis on defineeritud kui elektromagnetiline kiirgus lainepikkuste vahemikus 400-700 nm ehk kvandi energiavahemik 3.10 kuni 1.77 eV. Vesiniku aatomisisestest üleminekutest kiirguks nähtavat kiirgust üleminekutel kõrgematelt nivoodelt teisele nivoole, teiselt esimesele nivoole üleminek kiirgab kvandi lainepikkusega 121.7 nm. Seega, valguse ja sellest lühemate lainepikkustega kvandid kiirguvad elektroni üleminekul kõrgema energiaga orbiidilt madalama energiaga orbiidile, energiavahe kiirgub kvandina. Ka vastupidine protsess, kvandi neeldumine aatomis põhjustades elektroni ülemineku madalamalt orbiidilt kõrgemale, on võimalik. Nagu vesiniku aatomi analüüs näitas, on lubatud täiesti kindlad energianivood, seega niisuguses aatomis kiirguvad ja neelduvad ainult väga täpselt määratud lainepikkustega kvandid. Vesiniku aatomis on põhinivoo nii sügaval, et sinna üleminekul saavad kiirguda vaid ultraviolett-kvandid. Paljelektroniliste aatomite väliste kihtide lubatud põhinivood ei asu mitte nii sügaval ja neis kiirguvad/neelduvad ka nähtava valguse kvandid. Näiteks, tihti kasutatakse elavhõbe-auru ja naatriumi- auruga täidetud lampe, kus elektrienergia abil sunnitakse metalliaatomeid kiirgama nähtavat valgust. Kui aatomid asuvad gaasis tihedalt lähestikku, siis nad põrkuvad soojusliikumise tõttu ja need põrked moonutavad orbiitide kuju. Tulemusena nihkub igas moonutatud orbiidiga aatomis energianivoo veidi ja kogu gaas ei kiirga enam mitte joonspektrit teatud kindlate lainepikkustega, vaid nn. ribaspektrit, kus jooned on laienenud ribadeks. Joonis: ribaspektri näidis kõrgrõhu elvhõbeauru-lambis. Tahkes kehas asuvad aatomid nii tihedasti koos, et iga üksiku aatomi energianivoo muutub väga ebamääraseks. Kui tahket keha, näiteks metalli või sütt kuumutada, siis see hakkab valgust kiirgama. Madalamal temperatuuril on see kiirgus pikemalainelisem, nähtavaks muutub see tumepunasena kusagil 600 °C juures. Temperatuuri edasisel tõstmisel hakkab domineerima järjest lühemalainelisem kiirgus, muutudes silmale nähtavalt kollakaks, valgeks (nagu Päike) või isegi sinakaks (nagu kuumad tähed). Niisugustes kuumutatud tahketes kehades on kiirguse energiaallikaks aatomite (molekulide) soojusliikumine, mis põrgetel ‘ergastab’ elektrone, lükates neid ajutiselt kõrgematele niivoodele, kust nad siis kohe jälle alla kukuvad, kiirates kvante. Kuna aatomid asuvad väga tihedalt, siis on ka lubatud energianiivood väga tihedalt ligistikku, nii et igasuguse energiaga kvantide kiirgumine on võimalik. Sellest tulenevalt on kuumutatud tahkete kehade kiirgus pideva spektriga. Kuumutatud gaasides aga kiirgub ikkagi joon- või ribaspekter. Nagu öeldud, on madala temperatuuriga kehades lühilaineliste (kõrge energiaga) kvantide kiirgumine vähetõenäone ja neis domineerivad pikemalainelised kvandid. Näiteks Maa keskmine temperatuur on umbes 290 °K ja Maa kiirgab kosmosesse infrapunast kiirgust lainepikkuse maksimumiga umbes 10 ?m. Seevastu Päikese temperatuur on umbes 6000 °K ja tema kiirgusmaksimum on 0.5 ?m lainepikkuse juures. Hõõglampide niidi temperatuur on umbes 2000-3000 °K ja kiirgusmaksimum umbes 1 ?m juures. Nagu näeme, on silm kohastunud nägema just selles spektripiirkonnas, kus Päike kiirgab maksimaalselt. Seevastu hõõglampide spektrist suurt osa silm ei näe. Sellepärast ongi hõõglampide valgusviljakus (valguslik kasutegur) suhteliselt madal (10-20%). Joonised: Päikese ja hõõglampide spektri näited. Mateeria lainelised omadused: kvantmehaanika kui lainemehaanika Uurides musta tahke keha kiirgusspektrit leidis Max Planck (1900), et see vastab energia juhuslikule jaotusele ainult tingimusel, et mitte igasugune kiirgumine ei ole võimalik, vaid ainult kiirgumine portsjonite, kvantide kaupa, mille igaühe energia ja võnkesagedus on seotud järgmiselt: [pic] kus ? on võnkesagedus ja h nn. Planck’i konstant, mis on üks looduse universaalsetest konstantidest. Veidi hiljem leidis Alber Einstein oma üldrelatiivsusteooriast et elementaarosakeste (prootonite, elektronide jne.) mass ja energia on omavahel seotud: [pic] kus c on valguse kiirus. Nendest kahest valemist järgneb, et kvandil (footonil) kui elektromagnetiliste lainete ‘paketil’ peab siiski olema ka mingi mass [pic] . Seega on footon kahesuguste omaduste, nii lainepakett kui ka massiga osakene. De Brouglie (1927) arendas seda mõtet edasi, et absoluutselt iga osakene, millel on mass, omab samaaegselt ka lainelisi omadusi. Kui eelmine valem teisendada, saame [pic] , kust [pic] See valem on kirjutatud footonite jaoks, mis alati liiguvad kiirusega c ja ei saa kunagi liikuda väiksema kiiruega. De Brouglie aga oletas, et massi ja lainepikkust siduv valem kehtib iga osakese kohta, ka nende kohta, mis võivad seista paigal või liikuda valguse kiirusest väiksema kiirusega. Sellisel juhul valem sisaldaks valguse kiiruse asemel osakese (keha) tegelikku kiirust [pic] Vaatame, mida see hüpotees tähendaks Bohri aatomimudelis tiirleva elektroni kohta, milline oleks selle ‘lainepikkus”? Elektroni kineetiline energia orbiidil, millele vastas täisarv n oli [pic] Avaldades siit kiiruse v saame [pic] ja vastava elektroni lainepikkuse [pic] Võrdleme elektroni lainepikkust Bohri raadiusega [pic] ehk [pic] Viimases valemis lisasime raadiusele indeksi n näitamaks, et tegu on just nimelt täisarvule n vastava raadiusega. Valem ise aga näitab, et täisarvule n vastavale orbiidile mahub just nimelt n täislainet. Tuletame meelde, et kõrgemal orbiidil on elektroni kiirus väiksem, seega lainepikkus suurem. Siit järeldub, et orbiidi ümbermõõt (ka raadius) suureneb kahel põhjusel: elektroni lainepikkus suureneb ja orbiidile paigutatavate lainete arv ka suureneb. Siit tulenebki väliste orbiitide läbimõõdu kiire kasvamine kui elektroni summaarne energia hakkab nullile lähenema (elektron kaugeneb tuumast väga kaugele). Lainemehaanika alged Lained on ruumis edasilevivad võnkumised. Edasilevimine tuleb sellest, et mingis ruumipunktis toimuv muutus kutsub esile sarnase muutuse naaberpunktis, aga veidi hiljem. Elektroni orbiidil ringlevad samuti lained, kuid kummas suunas? Et eelissuunda ei ole, siis levivad lained mõlemas suunas liikudes vastamisi. Kui seejuures on veel orbiidil täisarv laineid, siis tekib resultatiivselt nagu laine seiskumine, vastassuunalised levimised kompenseeruvad. Seega, elektron aatomi orbiidil moodustab seisva laine. Üldse, madalama potentsiaalse energiaga ruumiosas kinnihoitavad lained moodustavad alati seisvad lained, ja seda madalama potentsiaaliga ruumiosa kutsutakse ‘potentsiaaliauguks’. Gravitatsiooniväljas on kahemõõtmeline potentsiaaliauk näiteks kaev, kus ergastatud lained peegelduvad kaevu seintelt ja moodustavad veepinnal seisvaid laineid. Kolmemõõtmeline elektripotentsiaali auk on näiteks tuuma ümbrus, mis hoiab elektrone kinni kui seisvaid laineid. Seisvat lainet kirjeldav matemaatika on lihtsam kui levivat lainet kirjeldav, sest ajalisi muutusi ei esine ja vastav diferentsiaalvõrrand aega ei sisalda. Juba varem leidsime, et võnkumiste võrrand on teist järku diferentsiaalvõrrand. Näiteks massi ajaliste võnkumiste jaoks oli põhiprintsiip, et tasakaalu poole suunatud jõud on võrdeline hälbega tasakaalupunktist, seega kiirendus on võrdeline hälbega tasakaalupunktist. Ruumilise võrrandi põhimõte on sama, ainult jõu ja kiirenduse mõistet siin kasutada ei saa: [pic] Võrrand on ühemõõtmeline, kus mingi suurus A lainetab x-telje suunas. Kui lainetus võib esineda kolmes ruumisuunas, siis kirjutatakse lainefunktsiooni lühidalt [pic], kus [pic] Asendades [pic] saame [pic] Et lainete oluliseks parameetriks on mitte kiirus, vaid energia, siis avaldame kiiruse kineetilise energiaga kui koguenergia ja potentsiaalse energia vahega: [pic] ja [pic] See on kvantmehaanika põhivõrrand, nn. Schrödingeri võrrand, ja tema kolmemõõtmeline lahend esitabki lainefunktsiooni, mis kirjeldab elementaarosakest kui seisvat lainet potentsiaaliaugus. Viimane tingimus tähendab, et lahend on olemas kui koguenergia on negatiivne. Selle võrrandi ruumiline (kolmemõõtmeline) lahend esitabki elementaarosakese kui võnkumise. Lainetav osakene võib esinaeda teatud tõenäosusega igas ruumipunktis. Osakese esinemise tõenäosuse tihedust kirjeldab lainefünktsiooni ruut [pic] ja tema leidmise tõenäosus ruumiosas dV on [pic]. Tuuma ümber tiirleva elektroni korral on koguenergia määratud Bohri aatomi jaoks leitud tingimustega ja lainete arv mingil energianivool on võrdne täisarvuga n, mis iseloomustas seda energianivood. Oluline on tähele panna, et Schrödingeri võrrand ei sisalda aega, seega elektroni leidmise tõenäosus mingis punktis on kogu aeg üks ja seesama, elektron asub kogu aeg mingis piiratud ruumiosas. Elektroni hoiab selles ruumiosas elektriväli, mille potentsiaal on negatiivne, st., mis tõmbab elektroni. Tõmbavat, madalama potentsiaaliga (elektroni potentsiaalse energiaga) ruumiosa nimetatakse ‘potntsiaaliauguks’, analoogia põhjal auguga maapinnas, kuhu sissekukkunud kehad sealt ise enam välja ei pääse. Tuumale lähenenud elektron ongi kukkunud potentsiaaliauku. Joonisel on näidatud lihtsaim ühemõõtmelise potentsiaaliaugu juht, kus väljaspool ‘auku’ on potentsiaal ühtlaselt kõrgem ja augus sees ühtlaselt madalam, tuletades meelde näiteks kaevu maapinnas. Elektroni lainetamist niisugune potentsiaaliaugus on matemaatiliselt lihtne arvutada, sest summaarne energia E-Ep on augus sees kõikjal sama ja võrrand (???) laheneb sinusoidaalsete võnkumistena. Tähtis on, et võrrand ei lahene mitte igasuguse energiaväärtuse puhul, vaid ainult niisuguste puhul, mis võimaldavad augu mõõtmesse paigutada täisarvu poollaineid. Sisuliselt tähendab see tingimus, et augu servas, kus potentsiaal järsult tõuseb, peab elektroni leidmise tõenäosus olema null (vt. joonist). Siit tulenebki potentsiaaliaugus asetseva lainetava elektroni lubatud energia kvantiseeritus, mille tulemusena võrrand laheneb ainult teatud täisarvuliste kordajatega n seotud energiaväärtuste jaoks. Kvantarvu n mõte on sama, mis Bohri aatomis, ta seob elektroni lubatud energia Plancki konstandi h kaudu võnkesagedusega, lainepikkusega, mis täpselt mahub ‘potentsiaaliauku’. Kuigi elektroni leidmise tõenäosus mingis ruumipunktis on konstant, sõltub see oluliselt, millist ruumipunkti me vaatleme. Näiteks potentsiaaliaugu serval on see null ja on null iga poollaine järel. Poollaineid on seda rohkem, mida kõrgem on elektroni energia. Muide, täpselt null on elektroni leidmine seina-ääres ainult siis kui ‘sein’ on lõpmatu kõrge, st. potentsiaaliauk on väga sügav, väga madala pontentsiaaliga. Madalasse seina tungib elektron veidi sisse, ja kui see sein ei ole mitte väga paks, siis ulatub lektroni lainetus veidi ka naaberauku (Joonis tunnelefekti kohta). Seega, elektron, mis asub piiratud madala potentsiaaliga ruumiosas võib siiski teatud väikese tõenäosusega sattuda ka naaberauku, kuigi nende vahel on sein. Seda nähtust nimetatakse tunneleffektiks ja sellel on bioloogias suur tähtsus elektroni ülekandeprotsessides: Kui lähestikku asuvad kaks aatomit, siis võib elektron kanduda üle ühelt teisele, kuigi vahepeal on kõrge potentsiaaliga ruumiosa (‘sein’). Nagu öeldud, on Schrödingeri võrrand lihtne lahendada ja annab siinusekujulised lained ainult siis kui summaarne energia on potentsiaaliaugus konstantne. Aatomituuma ümbruses aga on potentsiaaliauk hoopis sügava lehtri kujuline, langedes pöördvõrdeliselt kaugusega tuumast. See teebki võrrandi lahendamise keeruliseks ja annab tulemuseks mitte konstantse lainepikkusega siinuselised lained, vaid pidevalt lüheneva lainepikkusega lained, seda lühema lainepikkusega, mida madalam on potentsiaal antud kaugusel. Kirjutame need lahendid vesiniku aatomi jaoks siiski välja, sest nendest tulenevad kvantarvud, n, l, ja m, mis määravad elektronide võimaliku paigutuse aatomis. Elektroni lainetus vesiniku aatomis Schrödingeri võrrandi lahendamine ümber tuuma asetseva elektroni jaoks on eelmises punktis vaadeldust keerukam kahel põhjusel: esiteks, lahend ei ole mitte ühemõõtmeline, vaid kolmemõõtmeline ja potentsiaaliauk ei ole mitte sileda põhjaga, vaid lehtrikujuline. Kuna probleem on ilmselt tsentraalsümmeetriline, siis on otstarbekas Schrödingeri võrrand kirjutada ruumilistes polaarkoordinaatides r, v ja ?. Tuletame meelde, et rist-ja polaarkoordinaadid on omavahel seotud järgmiselt: [pic] [pic] ja [pic] Asendades need Scrödingeri kolmedimensionaalsesse võrrandisse saame matemaatiliselt järgmise üldvõrrandi elektroni kohta vesiniku aatomis [pic] Siin me on elektroni mass. Selle võrrandi lahendamine üldjuhul ei olegi võimalik, vaid vaja on teha teatud eeldusi. Nimelt eeldatakse, et kolmemõõtmeline lainefunktsioon ? avaldub kolme ühemõõtmelise lainefünktsiooni korrutisena: [pic] See on füüsikaliselt väga oluline koht, eeldades, et võnkumised kolmes eraldi ruumi suunas toimuvad sõltumatult, üksteist mõjutamata. Elektroni summaarne energia kujuneb välja kolmesuunaliste võnkumiste energiate summana. Rakendades seda eeldust ja tehes matemaatilised teisendused saame kolm eraldi võrrandit, igaüks oma koordinaadis toimuvate võnkumiste kohta: [pic] [pic] [pic] Nendes võrrandites m ei ole elektroni mass vaid mingi täisarv, samuti nagu ?. Esimene kolmest võrrandist lahendub väga lihtsalt. Nagu oodatud, on võnkumised polaarnurga suunas siinuselised, sest asimuudi ? suunas on ju potentsiaalne energia konstantne. Täisarv m on siin lubatud energiat määrava kvantarvu rollis. [pic] Samuti annab siinuselise lahendi teine võrrand, sest ka polaarnurga v suunas on potentsiaalne energia konstantne. Siin on aga lahend keerukam, sest sisldab kahte kvantarvu, m ja ?. Keerukaim lahend on aga raadiusesuunaline, sest siin on potentsiaalne enegia muutlik, pöördvõrdeline raadiusega. Ometi onkasee lahendatud ja leitud tingimused kvantarvu n jaoks, mille puhul lahend on olemas (lubatud energiate väartused). Ülatoodud võrrandites on kvantarvud esitatud siiski keerukamal kujul kui lihtsas Schrödingeri võrrandis. Põhjus on selles, et, nagu mainisime, on elektroni summaarne energia nüüd määratud kolme energia summaga, vastavalt igas koordinaadis toimuvale võnkumisele. Keemiliste ja füüsikaliste protsesside jaoks on aga tihti kõige tähtsam summaarne energia, pealegi võimaldaks ühe summaarset energiat väljendava kvantarvu sissetoomine siduda kolmemõõtmeliselt võnkuva elektroni ühemõõtmeliselt tiirleva elektroni kvantiseeritud energiaga, nii nagu see oli Bohri aatomis. Seega, tuleks tuua sisse peakvantarv n, mis näitab kõigis koordinaatides toimuvate võnkumiste energiate summat, ja kõrvalkvantarvud, mis näitavad, kui suur osa summaarsest energiast on jaotunud ühe või teise koordinaadi suunas. Niisuguset loogikast tulenebki, et võrrandid ? ja ? jaoks sisaldavad juba ise mingeid täisarve, mis on allutatud täisarvule n, mis ei sisaldu R võrrandis vaid tuleneb selle lahenduvuse tingimusena. See alluvuste jada on järgmine: Täisarv n, peakvantarv, võib omada täisarvulisi positiivseid väärtusi alates nullist: n=0, 1, 2, 3, ... Füüsikaliselt, n näitab võngete (lainete) koguarvu raadiuse r ja tõusunurga v suunas kokku. Valemis ??? [pic] kus l võib omada positiivseid täisarvulisi väärtusi 0, 1, 2, 3, ...n-1. Suurust l nimetatakse orbitaalkvantarvuks ja see näitab, mitu võnget on tõusunurga suunas. Võnked asimuudi ? suunas ei muuda elektroni energiat muidu kui aatom ei asetse välises magnetväljas. Seetõttu ei olegi asimuudisuunalisi võnkeid energiat määravate võngete koguarvu sisse loetud ja kvantarvu m nimetatakse magnetkvantarvuks. Tema lubatud väärtused on allutatud orbitaalkvantarvu l väärtustele ja võivad olla vahemikus –l..0..+l. Seega, seoses sellega, et ruum on kolmemõõtmeline, on elektronil kolm kvantarvu, mis iseloomustavad võngete arvu iga koordinaadi suunas. Selleks, et üks kvantarv iseloomustaks võimalikult hästi koguenergiat, on võrrandid lahendatud nii, et peakvantarv n vastab kahe koordinaadi raadiuse ja tõusunurga suunas toimuvate võngete koguarvule.Asimuudi suunas toimuvad võnked ei mõjuta elektroni koguenergiat muidu kui aatom ei asetse välises magnetväljas, seetõttu on magnetkvantarv m summast välja jäetud. Peame meeles järgmised reeglid: n=1,2,3,4,5.... l=0, 1, 2 ...(n-1) m=0, ±1, ±2, ...±l. Peakvantarv n võib omada positiivseid täisarvulisi väärtusi. Orbitaalkvantarv ehk kõrvalkvantarv l võib omada täisarvulisi väärtusi alates nullist kuni ühe võrra väiksema väärtuseni kui n. See tähendab, et tõusunurga suunas ei pruugi toimuda ühtegi võnget, võib toimuda üks, kaks jne, võnget, kuid vähemalt üks võnge peab jääma raadiuse suunale, muidu kaotaks aatom raadiusemõõtme, mis on ju ainuke pikkuse dimensiooniga suurus kolme polaarkoordinaadi hulgas. Magnetkvantarv m on allutatud kõrvalkvantarvule ja võib omada väärtusi alates –l läbi nulli kuni +l –ni. Keemikud on mugavuse mõttes tähistanud kvantarvude väärtusi ka tähtedega: Peakvantarvu jaoks: K(n=1); L(n=2); M(n=3); N(n=4) jne kõrvalkvantarvu jaoks: s(l=0); p(l=1); d(l=2) f(l=3). Joonisel on illustreeritud rariaalkomponendi R kuju sõltuvalt peakvantarvu n ja kõrvalkvantarvu l väartustest. Kui n=1 siis on elektronil ainult üks laine ja see peab olema raadiusesuunaline (l=0). Laine ei ole aga siinuseline, vaid muutub väga kõrgeks ja teravaks tuumale lähedases ruumiosas, seoses sellega, et seal potentsiaaliauk kukub kiiresti sügavaks. Kui n=2 ja l=0, on raadiusesuunas kaks lainet, kui n=3 ja l=0, on raadiusesuunas kolm lainet. Nüüd on eriti selgesti näha, kuidas potentsiaali langemine tuuma suunas põhjustab lainepikkuse pidevat lühenemist. Pange tähele ka, kui kaugele aatomi tsentrist elektroni lained ulatuvad: ühe võnke puhul umbes 4 A (A=Ongström, = 10-10 m= 0.1 nm), kahe võnke puhul 6A ja kolme puhul 12 A. See arv kahekordselt on vesinikuaatomi läbimõõt sõltuvalt sellest missugusel energianivool elektron asub (kas n=1,2 või 3). Seega, põhisesundis n=1 katab aatomi lainefunktsioon diameetri umbes 8A, kuid ergastatud seisundis (n=2 või 3) kuni 20 A. Kui l =1, on raadiuse suunas üks võnge vähem, kui l=2 siis kaks võnget vähem, kuid aatomi üldmõõt sellest ei muutu, vaid raadiusesuunaline lainepikkus vastavalt suureneb. (Kuidas see ühtib väitega, et muutujate lahutamine tähendab eeldust, et võnked kolmes koordinaadis on sõltumatud??). Eelmises lõigus leidsime, et elektroni leidmise tõenäosuse tihedust esitab lainefunktsiooni ruut (lainefunktsioon võib olla ka negatiivne, kuid ruut on ikka positiivne). Tõenäosuse tihedus korrutatud vastava ruumi suurusega annab elektroni leidumise tõenäosuse selles ruumiosas. Juhul kui l=0 on lainefunktsioon maksimaalne kohal r=0, seega tuuma vahetus ümbruses on elektroni tõenäosustihedus suurim. Kuna aga tuum ise on tohutult pisike (ruum väheneb raadiuse kuubiga!) siis elektroni leidumise tõenäosus otse tuumas on ikkagi väga-väga väike, nagu näha ka vastavalt jooniselt. Sõltuvalt raadiusesuunaliste leinete arvust moodustab elektron tõenäosuspilve millel on üks, kaks, kolm või enam suurma tihedusega kohta, tuumast keskmiselt seda kaugemal, mida suusrem on n. See langeb kokku Bohri aatomi analüüsil saadud tulemusega, et elektron võib tiirelda kindlatel kaugustel, seda kaugemal, mida suurem on energia, kuid lainemehaanikast näeme, et elektroni orbiit ei ole mitte kindel joon vaid muutuva tihedusega tõenäosuse pilv. Pilt läheb veelgi huvitavamaks kui katsume lainefunktsiooni kolme koordinaadi suunalisi komponente korraga ette kujutada, seega aatomi ruumilist pilti ette kujutada. Aatom on lihtne kerakujuline ainult juhul kui võnked on ainult raadiuse suunas (l=0 ehk s-orbitaalid). Kui l=1 (p- orbitaalid) on tõusunurga suunas ka võnge, mis moonutab kerakujulise tõenäosuspilve kaheksakujuliseks. See kaheksakujuline moodustis võib ruumis paikneda kolmel viisil, vastavalt m=-1,0+1, nii nagu näidatud joonisel. Kui välist magnetvälja ei ole, siis need erinevad paiknemisviisid koguenergiat ei mõjuta. Magnetvälja olemasolul aga mõjutavad ja vastavalt jagunevad spektrijooned kolmeks. Siit siis kolmanda kvantarvu nimetuski - magnetkvantarv. Kui l=2 ja tõusunurga suunas on kaks võnget, tekivad veelgi kummalisema kujuga moodustised viiel erineval moel. Seega, joonisel ?? toodud raadiusesuunalised tõenäosuspilved l väärtuste 1 ja 2 jaoks on kehtivad nendes ristlõigetes kus raadiusesuunaline tõenäosus on maksimaalne. Milleks me bioloogilises füüsikas tungime nii sügavale kvantmehaanikasse? Selleks, et mõista, et ainult tänu aatomite lainelisele ehitusele on elu võimalik. Elusstruktuurid moodustuvad keerukast aatomite süsteemist, mis seostuvad üksteisega kindlates järjestustes ja kindlates suundades. Ruumiline struktuursus on ju valgu molekuli peamine omadus. Kui kõik valku moodustavad aatomid oleksid kujult ümargused nagu herneterad (näit. nagu Bohri aatomi ringikujulised orbiidid), siis ei oleks aatomite sidumine kindlates suundades võimalik. Ei ole ju herneteradest võimalik kokku panna keerulisi ehitisi, küll on see aga võimalik näiteks Logo elementidest, mis ei ole ümargused. Isegi lihtne vee molekul näeks siis hoopis teistsugne välja kui aatomid oleksid ümargused. Tänu sellele, et p ja d orbitaalid (l=1 ja 2) moodustavad ruumilis kujundeid millel on väljavenitused kindlates suundades, haakuvad nendega teiste aatomite p- ja d-elektronid moodustades kindlasuunalisi sidemeid. Niimoodi, üksteisest kindlatel kaugustel ja kindlates suundades paigutatud aatomitest ehituvad üles elusaine molekulid, nendest omakorda rakud ja koed ja organismid. Aatomite paigutus molekulis ja molekulide omavaheline haakumine määrabki selle kuidas elusaine üles ehitatakse. Seega, elu olemust saab mõista ainult mõistes kvantmehaanika põhialuseid. Mitme elektroniga aatomid Kuigi vesinik on üks tähtsamaid looduses esinevaid elemente, on bioloogias siiski tähtsad veel süsinik, lämmastik, hapnik ja veel mitmed teised elemendid. Süsinikul on kuus, lämmastikul seitse ja hapnikul kaheksa elektroni. Kvantmehaanilist lainevõrrandit saab aga täpselt lahendada ainult kahe keha jaoks, seega ühe elektroni ja ühe prootoni jaoks. Mitme elektroniga aatomites on oluline veel elektronide omavaheline mõju ja selle täpne arvestamine ei ole võimalik. Meie siin unustame elektronide vastatstikuse mõju ja kujutame ette, missugune oleks mitme elektroniga aatom kui elektronid omavahel üksteist ei mõjutaks vaid kõik oleksid vastasmõjus ainult tuumaga. Kui elektrone on mitu, on ka prootoneid mitu ja vastavalt on tuuma laeng suurem ja elektriline külgetõmme tugevam. Seega on tuuma ümbruses ‘potensiaaliauk’ sügavam (potentsiaalne energia langeb kiiremini) ja põhisesundi n=1 lainefunktsioon koondub tuumale lähemale. Samuti on tuumale lähemal ka teised, kõrgemale energiale vastavad orbitaalid. Kuidas aga paigutuvad elektronid, kas kõik ühel, kõige madalama energiaga orbitaalil? Ei, selgub, et täpselt ühesuguse lainefunktsiooniga elektrone saab aatomis olla ainult üks. See on nn. Pauli printsiip, mille kohaselt elektronid jaotuved erinevate energianivoode vahel täites need madalamast kõrgemani. Seega peaks igale orbitaalile mahtuma ainult üks elektron, mis on iseloomustatud kolme kvantarvuga n, l, m. Selgub aga, et elektronil on veel üks omadus, mis lisab veel ühe kvantarvu, spinn s, mis kirjeldab elektroni sisemine pöörlemise suunda. Kuigi on raske ette kujutada kuidas üks tõenäosuspilv veel sisemiselt iseenese ümber pöörleb nagu värten (inglise keeles “spin”) ilmneb see sellest, et elektronil on magnetmoment. Iga elektron on nagu pisike magnetike, mis võib olla suunatud tuuma magnetvälja suhtes (ka tuumal on magnetmoment) kahes erinevas suunas. Vastavatest võrranditest tuleneb selle kvantarvu väärtuseks kas +1/2 või –1/2. Ühele ja samale orbitaalile mahub seega kaks elektroni, üks spinniga =1/2 ja teine spinniga –1/2. Nüüd on meil käes kõik tingimused, et asuda üles ehitama paljuelektroniliste aatomite elektronkatte struktuuri: elektrone tuleb juurde lisada orbitaalidele järjekorras, alates madalamate energiatega seisunditest kõrgemate suunas, mahutades igale orbitaalile mitte rohkem kui kaks elektroni. Teeme selle programmi läbi kuni teise perioodi (n=2) kõigi nivoode täitumiseni, sest see kaasab ka bioloogiliselt tähtsad elemendid C, N, O. H: n=1;l=0;m=0;s=1/2 üks paardumata spinniga elektron, keemiliselt aktiivne He: n=1;l=0;m=0;s=1/2 n=1;l=0;m=0;s=-1/2 kõik elektronid paardunud spinnidega, inertgaas Li: n=1;l=0;m=0;s=1/2 n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2 üks paardumata spinniga elektron, keemiliselt aktiivne Be: n=1;l=0;m=0;s=1/2 n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2 n=2;l=0;m=0;s=-1/2 kõik elektronid paardunud spinnidega, keemiliselt inertne B: n=1;l=0;m=0;s=1/2 n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2 n=2;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=1;m=-1;s=1/2 üks paardumata spinniga elektron, keemiliselt aktiivne C: n=1;l=0;m=0;s=1/2 n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2 n=2;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=1;m=-1;s=1/2 n=2;l=1;m=0;s=1/2 kaks paardumata spinniga elektroni, keemiliselt aktiivne N: n=1;l=0;m=0;s=1/2 n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2 n=2;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=1;m=-1;s=1/2 n=2;l=1;m=0;s=1/2 n=2;l=1;m=1;s=1/2 kolm paardumata spinniga elektroni, keemiliselt aktiivne O: n=1;l=0;m=0;s=1/2 n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2 n=2;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=1;m=-1;s=1/2 n=2;l=1;m=-1;s=-1/2 n=2;l=1;m=0;s=1/2 n=2;l=1;m=1;s=1/2 kaks paardumata spinniga elektroni, keemiliselt aktiivne F: n=1;l=0;m=0;s=1/2 n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2 n=2;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=1;m=-1;s=1/2 n=2;l=1;m=-1;s=-1/2 n=2;l=1;m=0;s=1/2 n=2;l=1;m=0;s=-1/2 n=2;l=1;m=1;s=1/2 üks paardumata spinniga elektron, keemiliselt aktiivne Ne: n=1;l=0;m=0;s=1/2 n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2 n=2;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=1;m=-1;s=1/2 n=2;l=1;m=-1;s=-1/2 n=2;l=1;m=0;s=1/2 n=2;l=1;m=0;s=-1/2 n=2;l=1;m=1;s=1/2 n=2;l=1;m=1;s=-1/2 kõik elektronid paardunud spinnidega, inertgaas Ülaltoodud orbitaalide täitumise järjekorrast näeme, et kõigepealt täituvad orbitaalid ühe elektroniga ja alles nende võimaluste ammendumisel asub teine, vastupidise spinniga elektron samale orbitaalile. Illustratsiooniks toome täieliku perioodilise süsteemi tabeli, mis näitab orbitaalide täitumise järjekorda ka kõrgema n väärtuse jaoks kui n=2. Põhimõte on see, et s-orbitaalidele (l=0) mahub kaks elektroni 2x(m=0); p-orbitaalidele (l=1) mahub kuus elektroni 2x(m=-1,0+1); d- orbitaalidele (l=2) mahub kümme elektroni (m=-2,-1,0,1,2). Aga juba alates komanda perioodi lõpust tekivad ebaregulaarsused, mis on põhjustatud sellest, et võnked tõusunurga suunas on mõnevõrra energiarikkamad kui võnked raadiuse suunas. Seetõttu pärast Argooni (Ar) oleks oodata elektronide asumist 3d nivoole, kuid K ja Ca aatomites täituvad enne hoopiski 4s orbitaalid, mis asuvad energeetiliselt madalamal kui 3d orbitaalid. Alles seejärel täituvad järjekorras 3d orbitaalid, jättes 4s orbitaalile kogu aeg 2 (või üks ) elektroni. Seetõttu omab terve rida aineid Sc kuni Zn –ni keemiliselt sarnaseid metallilisi omadusi ja terve see rida kannab ühist nimetust muldmetallid. Samasugused ebaregulaarsused korduvad veelgi enam kõrgemate n väärtuste puhul. Bioloogias on olulised elemendid Fe, Cu, Mn, mis võivad kergesti loovutada ühe või kaks väliskihi (n=4) elektroni, kuigi eelmises, 3d kihis on veel vabu orbitaale. Neid viimaseid, vabu 3d orbitaale, on loodus osanud kasutada nende aatomite sidumiseks valkudega, et neid paigutada kindlatele kohtadele ja seal fikseerida, samal ajal kui n=4 kihi elektrone saab aatom loovutada või juurde võtta. Seetõttu on nimetatud metallid kõige tüüpilisemad elektroni ülekandjad, olles kinnistatud nn. tsütokroomidesse (Fe) või teistesse valkstruktuuridesse (Cu, Mn). Huvitaval kombel on plaatina ja kulla (Pt, Au) väliskihi struktuur sarnane kaaliumi (K) omaga. Viimane on aga keemiliselt väga aktiivne, samal ajal kui kuld võib kolmsada aastat merevees püsida tuhmumata.