Материалы сайта
Это интересно
Теоретическая физика: механика
|“Согласовано” |“Утверждено” | |Преподаватель Джежеря Ю.И. |Методист ____________________| |___________ | | | | | План-конспект занятия По теоретической физике Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61 Филатова Александра Сергеевича Дата проведения занятия: 13.12.2000 Тема: «Скобки Пуассона. Канонические преобразования» Цели: Развить навык обращения со скобками Пуассона. Развить навык использования канонических преобразований. Научить осуществлять преобразования Лежандра для перехода к производящей функции от необходимых переменных. Воспитывать трудолюбие, прилежность. Тип занятия: практическое. Ход занятия Краткие теоретические сведения [pic](1) Скобки Пуассона: [pic](2) Канонические преобразования переменных – это такие преобразования, при которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования производят с помощью производящей функции, которая является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции определяется следующим образом: [pic] (3) Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем соответствующий вид канонических преобразований. Примеры решения задач №9.6 [3] Показать, что уравнения Гамильтона можно записать в виде: [pic] (1.1) №9.7 [3] Показать, что для функции [pic]канонических переменных имеют место соотношения: [pic] (2.1) №9.10 [3] С помощью скобок Пуассона показать, что импульс системы является интегралом движения, если ее гамильтониан инвариантен относительно произвольного параллельного переноса системы в пространстве. Решение: По определению обобщенный импульс есть: [pic] (3.1) Но в силу однородности времени функция Лагранжа явно от времени не зависит, следовательно, и выражение для импульса также не содержит в себе явной зависимости по времени: [pic] (3.2) Тогда следуя формуле (1): [pic] (3.3) При параллельном переносе тела в пространстве координаты каждой точки этого тела преобразуются по закону: [pic] (3.4) При этом изменение гамильтониана равно нулю. Но с другой стороны изменение гамильтониана равно: [pic] (3.5) Где суммирование идет по всем частицам системы. Но поскольку при параллельном переносе для каждой частицы [pic], можем вынести его за знак суммы. Принимая во внимание, что [pic], получим: [pic] (3.6) С другой стороны для каждой декартовой компоненты имеет место соотношение вида: [pic] (3.7) Здесь было использовано свойство аддитивности скобок Пуассона. Запишем совокупность этих соотношений в краткой форме: [pic] (3.8) Сопоставляя (3.8) и (3.6) находим: [pic] (3.9) Т.о. согласно (3.3): [pic] (3.10) Что означает, что импульс системы [pic] является интегралом движения. №9.9 а) [3] Доказать, что скобки Пуассона [pic]. [pic] (4.1) Принимая во внимание, что [pic], и что импульсы и координаты являются независимыми переменными, получим: [pic] (4.2) По определению: [pic] (4.3) Проверяя равенство (4.2) для всех значений i, т.е. для [pic]поочередно убеждаемся в тождественности последнего. №10.14 а-1) [4] Вычислить скобки Пуассона [pic]. В силу равенств (2.1): [pic] (5.1) Компоненты вектора момента инерции можно записать как свертку тензоров (сам вектор является тензором I ранга): [pic], (5.2) где [pic] – полностью антисимметричный тензор, причем [pic], (5.3) остальные компоненты тензора равны нулю. Подставляя формулу (5.2) в выражение (5.1), получим: [pic] (5.4) Посчитаем по полученной формуле (5.4), к примеру, [pic]: [pic] №9.31 [3] Найти каноническое преобразование, соответствующее производящей функции: [pic]. Решение: [pic] (6.1) Поскольку производящая функция явно от времени не зависит, [pic]. Такое преобразование явно не меняет вид канонических уравнений, к тому же сводит просто к взаимному переименованию координат и импульсов. Следовательно, в гамильтоновом формализме понятие обобщенных координат и импульсов лишено их первоначального смысла. Мы всегда можем назвать координаты импульсами, а импульсы координатами (см. (6.1)). Ввиду этой условности терминологии переменные p и q в формализме Гамильтона часто называют канонически сопряженными величинами. №9.37 [3] Показать, что гамильтониан является инвариантом при бесконечно малом каноническом преобразовании с производящей функцией [pic], где [pic]– интеграл движения. Решение: Запишем канонические преобразования: [pic] (7.1) [pic] (7.2) Изменение гамильтониана в случае бесконечно малого канонического преобразования есть [pic] (7.3) Из канонических уравнений (7.1) следует, что [pic] (7.4) [pic] (7.5) Выражая [pic] из уравнения (7.1) и подставляя его в уравнение (7.5), с точностью до членов первого порядка малости, получим: [pic] (7.6) Подставим (7.4) и (7.6) в выражение для изменения гамильтониана (7.3). Получим: [pic] (7.7) По условию функция f является интегралом движения. А значит [pic] (7.8) С другой стороны [pic] (7.9) Подставляя в последнее выражение равенства (7.8), получаем: [pic] (7.10) Сопоставляя (7.7) и (7.10), делаем вывод, что изменение гамильтониана [pic], (7.11) что и требовалось доказать. Т.е. гамильтониан является инвариантом при бесконечно малом каноническом преобразовании с заданной производящей функцией. Домашнее задание: №9.8 [3] Показать, что функция [pic] является интегралом движения свободной частицы в отсутствие внешних сил. Решение: Для свободной частицы: [pic] (8.1) Согласно (1): [pic] (8.2) №9.9 б) [3] Доказать, что скобки Пуассона [pic]. №10.14 а) [4] Вычислить скобки Пуассона: [pic], [pic]. №9.32 [3] Показать, что производящая функция [pic] определяет тождественное каноническое преобразование. Литература: 1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.: «Наука», 1969 г., - 272 с. 2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204 с. 3. И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с. 4. Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1977 г., - 320 с. 5. И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1986 г., - 448 с. 6. Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319 с. Студент-практикант: Филатов А.С.