Материалы сайта
Это интересно
Теоретическая физика: механика
|“Согласовано” |“Утверждено” | |Преподаватель Джежеря Ю.И. ___________|Методист ____________________| | | | План-конспект занятия По теоретической физике Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61 Филатова Александра Сергеевича Дата проведения занятия: 27.12.2000 Тема: «Функция Гамильтона-Якоби. Разделение переменных» Цели: Закрепить умение использования метода Гамильтона-Якоби при решении задач с разделением переменных. Сформировать понимание сути и могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность. Тип занятия: практическое. Ход занятия Краткие теоретические сведения При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует выражение для импульса: [pic] (1) Из представления полной производной действия по времени следует уравнение Гамильтона-Якоби: [pic] (2) Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: [pic]. Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби (2), находят представление действия в виде полного интеграла, который является функцией s координат, времени, и s+1 постоянных (s – число степеней свободы). Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е. полный интеграл имеет вид: [pic] (3) Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь s констант меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными условиями на уравнения движения, которые для любого значения А будут иметь одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби. Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом (3) уравнения Г.- Я. (2) и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве производящей функции. Константы [pic] будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда новые координаты [pic] (4) тоже будут константы, поскольку [pic] (5) Выражая из уравнения (4) координаты [pic] в виде функций от [pic], мы и получим закон движения: [pic] (6) Решение задачи на нахождение зависимости (6) существенно упрощается в случае разделения переменных. Такое возможно, когда какая-то координата [pic] может быть связана лишь с соответствующим ей импульсом [pic] и не связана ни с какими другими импульсами или координатами, входящими уравнение Г.-Я. В частности это условие выполняется для циклических переменных. Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к следующему: 1. составить функцию Гамильтона; 2. записать уравнение Г.-Я., и определить какие переменные разделяются; 3. Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интеграла [pic]; 4. Составить систему s уравнений[pic], и получить закон движения [pic]; 5. По необходимости найти закон изменения импульсов: [pic]. Для чего продифференцировать полный интеграл по координатам [pic], а потом подставить их явный вид, полученный в пункте 4. Примеры решения задач На прошлом занятии был продемонстрирован пример нахождения закона движения для свободной точки. Что же будет происходить при помещении точки в поле? №9.22 [3] Составить уравнения Г.-Я. для точки, движущейся в однородном гравитационном поле. Найти полный интеграл этого уравнения, а также траекторию и закон движения точки. Решение: 1. Направим ось Oz вверх по вертикали. Тогда функция Гамильтона точки в декартовых координатах примет вид: [pic] (1.1) 2. Соответственно уравнение Г.-Я.: [pic] (1.2) 3. Все переменные в этом уравнении разделяются. Здесь [pic]. Разделение переменных позволяет нам представить действие в виде суммы: [pic] (1.3) Тогда, к примеру, изменение х, повлечет за собой изменение лишь первого слагаемого в квадратных скобках уравнения (1.2). Слагаемое может меняться, а все выражение все равно тождественный ноль. Следовательно, это слагаемое есть константа. [pic] [pic] [pic] (1.4) Выполняя такого рода действия, получим следующий вид полного интеграла уравнения Г.-Я.: [pic] (1.5) Заметим, что в выражении полного интеграла (1.5) уже содержится три константы. Система имеет три степени свободы. Поэтому эти три константы уже однозначно определяют уравнения движения. 4-ая константа может входить в действие только аддитивным образом и не играет существенной роли. Соответственно функция [pic] не должна содержать более констант. Полученная при интегрировании этой части действия константа будет выражаться через уже имеющиеся три. Поэтому вид функции [pic] определим, подставив действие в виде (1.5) в уравнение Г.-Я. (1.2): [pic] (1.6) Интегрирование последнего уравнения приводит к функции: [pic] (1.7) Окончательно полный интеграл: [pic] (1.8) 4. Отсюда на основании теоремы Якоби: [pic] (1.9) [pic] (1.10) [pic] (1.11) Первые два из этих уравнения показывают, что траекторией частицы является парабола, а третье уравнение представляет собой закон движения. Далее найдем, что компоненты [pic] – сохраняются: [pic] (1.12) В частности, при нулевых значениях [pic] движение происходит по прямой вдоль оси Oz. Найдем также компоненту [pic], как функцию координат: [pic] (1.13) №9.24 [3] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. для мат. маятника и закон его движения в квадратуре. Решение: 1. Чтобы составить функцию Гамильтона, можно пойти двумя путями. 1) Записать вид функции Гамильтона в полярных координатах: [pic] (2.1) Но поскольку длина стержня мат. маятника – величина постоянная, то [pic], а функция Гамильтона примет вид: [pic] (2.2) 2) Записать функцию Лагранжа, и из нее получить вид функции Гамильтона, который будет совпадать с представлением (2.2). Предлагается учащимся убедиться в этом самостоятельно в качестве домашнего задания. 2. Запишем уравнение Г.-Я.: [pic] (2.3) 3. И время t и координата ( – разделяются. Следовательно, полный интеграл имеет вид: [pic] (2.4) Подставляя его в уравнение Г.-Я. (2.3) получим вид функции [pic]: [pic] (2.5) На основании теоремы Якоби найдем закон движения маятника: [pic] (2.6) или [pic] (2.7) Литература: 1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика, электродинамика», - М.: «Наука», 1969 г., - 272 с. 2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., - 204 с. 3. И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков «Задачи по теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с. 4. Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1977 г., - 320 с. 5. И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», - М.: «Наука», 1986 г., - 448 с. 6. Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко «Сборник задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319 с. Студент-практикант: Филатов А.С.