Материалы сайта
Это интересно
Математический анализ
§ 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения Математическое исследование многих реальных процессов основано на применении дифференциальных уравнений, содержащих производные искомых функций. Аппарат дифференциальных уравнений универсален: разнообразные процессы могут описываться одинаковыми уравнениями. Практика показывает, что даже простые математические модели, использующие дифференциальные уравнения, позволяют качественно изучить основные черты сложных явлений и оценить их количественные характеристики. 1. Определения Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок входящих в него производных. Этот параграф посвящен обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка, то есть уравнениям вида [pic], где [pic] - заданная функция, [pic] - независимая переменная, [pic] - искомая функция, [pic] - ее производная. Уравнения вида [pic] называются разрешенными относительно производной. Функция [pic] называется решением дифференциального уравнения, если после ее подстановки уравнение обращается в тождество. Процесс нахождения решений называется интегрированием уравнения. Решить уравнение значит найти все его решения. Ниже рассматриваются только уравнения, разрешенные относительно производной. В простейшем случае, когда правая часть уравнения не зависит от [pic], то есть уравнение имеет вид [pic], любое его решение является первообразной функции [pic], а интегрирование уравнения сводится к отысканию неопределенного интеграла от [pic] (см. § 4). Совокупность всех решений, то есть общее решение уравнения, можно представить формулой [pic], где [pic] - произвольная постоянная. При этом в данном параграфе под неопределенным интегралом функции условимся понимать не все множество ее первообразных, а любую фиксированную первообразную. Пример. Для уравнения [pic], интегрируя, получим общее решение [pic]. В следующем пункте рассматривается один класс уравнений, общее решение которых представляется в квадратурах, то есть с использованием интегралов от известных функций. 2. Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида [pic], (1) где [pic] и [pic]- заданные функции. Заметим, что если для некоторого значения [pic] выполнено [pic], то функция [pic] является решением уравнения (1). Рассмотрим случай [pic]. Разделив левую и правую части уравнения на [pic], получим [pic], откуда следует соотношение между первообразными [pic], где [pic] - произвольная постоянная. Используя формулу замены переменной в неопределенном интеграле (см. § 4), получаем равенство [pic], (2) определяющее в неявном виде семейство решений уравнения (1), зависящее от произвольной постоянной. Замечание. Чтобы из бесконечного множества решений дифференциального уравнения выделить частное решение нужно задать какое-либо дополнительное условие, например, [pic], (3) где [pic], [pic] - некоторые постоянные. Условие (2) называется начальным, а задача отыскания решения, удовлетворяющего такому условию, называется задачей Коши. Пример. Найдем общее решение уравнения [pic]. Используя (2), получаем [pic], то есть [pic], где [pic] - произвольная постоянная. Отсюда находим семейство решений [pic]. Кроме того, имеется решение [pic], при котором правая часть уравнения обращается в ноль. Все найденные решения можно представить одной формулой [pic], где [pic] - произвольная постоянная. Пример. Рассмотрим уравнение [pic]. (4) Как и в предыдущем примере, [pic] является решением. При [pic] получаем [pic] или [pic], откуда находим бесконечное семейство решений [pic]. Пример. Решим задачу Коши [pic], [pic]. Заметим, что функция [pic] удовлетворяет уравнению, но не удовлетворяет начальному условию. Пусть [pic], тогда общее решение определяется из равенства [pic], откуда [pic] и, следовательно, [pic]. При [pic] с учетом начального условия получим [pic], откуда [pic]. Таким образом, решением задачи Коши является функция [pic]. 3. Математические модели некоторых процессов Рассмотрим примеры задач, исследование которых проводится с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений. Пример (закон роста населения Земли). Пусть [pic] - число людей на Земле в момент времени [pic]. Демографические данные показывают, что за небольшой интервал времени [pic] прирост населения [pic] пропорционален квадрату числа людей и интервалу времени: [pic], где [pic] - некоторая постоянная. Разделив левую и правую части этого равенства на [pic] и перейдя к пределу при [pic], получим уравнение [pic], (5) где [pic] - дифференцируемая функция, приближающая функцию [pic]. Уравнение (5) аналогично уравнению (4), рассмотренному выше. Его общее решение имеет вид [pic]. Заметим, что известные демографические данные хорошо согласуются с частным решением [pic], где время [pic] исчисляется в годах от начала нашей эры. Функция [pic] не определена при [pic], поэтому закон роста населения в будущем должен измениться. Пример (модель производства). Пусть [pic] - интенсивность выпуска продукции некоторым предприятием в момент времени [pic], а [pic] - цена продукции. Доход от продажи этой продукции составляет [pic]. Пусть часть вырученных средств, равная [pic], (6) где [pic] - некоторое число, направляется на расширение производства. Предположим, что скорость изменения интенсивности выпуска продукции прямо пропорциональна объему инвестиций: [pic], (7) где [pic]- постоянная. Из (6) и (7) получаем уравнение [pic], (8) общее решение которого при постоянном [pic] имеет вид [pic], где [pic]. Если задано начальное условие [pic], (9) то решением задачи Коши (8), (9) является функция [pic]. Уравнение (8) называется уравнением естественного роста. Им описываются также процессы радиоактивного распада в физике и размножения бактерий в биологии. На практике с увеличением выпуска продукции происходит насыщение рынка и цена падает. Если, например, [pic], где [pic] и [pic]- положительные постоянные, то вместо (8) получим уравнение [pic], (10) аналогичное уравнению, рассматриваемому в следующем примере. Пример (модель рекламы). Пусть [pic] - число людей, знающих к моменту времени [pic] некоторую новость, а [pic]- общее число людей. Будем предполагать, что скорость распространения новости [pic] прямо пропорциональна как числу людей [pic], уже ее знающих, так и числу людей [pic], еще не знающих новости, то есть [pic], (11) где [pic]- постоянная. Разделив переменные в этом уравнении, получим [pic], откуда, используя результат последнего примера § 4, найдем [pic] или [pic]. График этой функции называется логистической кривой. Для случая [pic], соответстщего условию, что в момент [pic] половина людей знает новость ([pic]), эта кривая представлена на рис. 15. Рис.15. Рассматриваемое уравнение обладает также решениями [pic] и [pic], обращающими в ноль его правую часть. Эти решения соответствуют ситуациям, когда новость не распространяется: в первом случае в начальный момент ее никто не знает, а во втором - знают все. Отметим, что уравнения (10) и (11), описывающие совершенно разные процессы, по существу, совпадают. Уравнения того же типа возникают при описании динамики эпидемий, процессов размножения бактерий в ограниченной среде обитания, применяются в математической теории экологии. Упражнения 1. Решить уравнения: 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]; 4)[pic]; 5) [pic]; 6) [pic]; 7) [pic]; 8) [pic]; 9) [pic]; 10) [pic]; 11) [pic]; 12) [pic]; 13) [pic]; 14) [pic]; 15) [pic]; 16) [pic]; 17) [pic]; 18) [pic]; 19) [pic]; 20) [pic]; 21) [pic]; 22) [pic]; 23) [pic]; 24) [pic]; 25) [pic]; 26) [pic]. 2. Решить задачи Коши: 1) [pic], [pic]; 2) [pic], [pic]; 3) [pic], [pic]; 4) [pic], [pic]; 5) [pic], [pic]; 6) [pic], [pic]; 7) [pic], [pic]; 8) [pic], [pic]; 9) [pic], [pic]; 10) [pic], [pic]; 11) [pic], [pic]; 12) [pic], [pic]; 13) [pic], [pic]; 14) [pic], [pic]; 15) [pic], [pic], 16) [pic], [pic]; 17) [pic], [pic]; 18) [pic], [pic]; 19) [pic], [pic]; 20) [pic], [pic]. Ответы 1. 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) [pic]; 6) [pic]; 7) [pic]; 8) [pic]; 9) [pic]; 10) [pic]; 11) [pic]; 12) [pic]; 13) [pic]; 14) [pic]; 15) [pic]; 16) [pic]; 17) [pic]; 18) [pic]; 19) [pic]; 20) Общее решение находится из уравнения [pic]; 21) [pic]; 22) [pic]; 23) [pic]; 24 ) [pic]; 25) [pic]; 26) [pic]. 2. 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) [pic]; 6) [pic]; 7) [pic]; 8) [pic]; 9) [pic]; 10) [pic]; 11) [pic]; 12) [pic]; 13) [pic]; 14) [pic]; 15) [pic] и [pic]; 16) [pic]; 17) [pic]; 18) [pic]; 19) [pic]; 20) [pic].