Материалы сайта
Это интересно
Математический анализ
§ 4. Неопределенный интеграл К понятию неопределенного интеграла приводит задача о нахождении функции по ее производной. Эта задача решается с помощью операции интегрирования, обратной по отношению к операции дифференцирования. 1. Определение интеграла и правила интегрирования Пусть для всех [pic], принадлежащих интервалу [pic], выполнено равенство [pic], тогда функция [pic]называется первообразной функции [pic] на [pic]. Заметим, что первообразная функции [pic] определяется не однозначно: вместе с [pic] первообразными являются функции вида [pic], где [pic]– произвольная постоянная. Справедливо утверждение: любая первообразная функции представима в виде [pic] при некотором значении [pic]. Совокупность всех первообразных функции [pic] называется ее неопределенным интегралом и обозначается символом [pic]: [pic]; при этом [pic] называется подынтегральной функцией, а [pic] - переменной интегрирования. Операция нахождения интеграла называется интегрированием. Пример. а) Из равенства [pic] заключаем, что функция [pic] является первообразной функции [pic]. Следовательно, можно записать [pic]. б) Аналогично, из равенства [pic] следует [pic]. В отличие от производной интеграл элементарной функции может не быть элементарной функцией. Это относится, например, к интегралам от [pic], [pic], [pic]. Однако интегралы всех основных элементарных функций выражаются через элементарные функции. Приведем таблицу некоторых из них, получаемую из таблицы производных, и правила, по которым можно находить интегралы других функций. Таблица интегралов 1) [pic] ([pic]); 2) [pic]; 3) [pic]; 4) [pic] [pic]. Правила интегрирования 1) [pic]; 2) [pic], где ( - постоянная Отметим, что приведенные правила аналогичны соответствующим правилам дифференцирования. Примеры. Найдем интегралы, применяя указанные правила и таблицу: а) [pic]; б) [pic]; в) [pic]. 2. Замена переменной в неопределенном интеграле В некоторых случаях нахождение интеграла упрощается при переходе к другой переменной интегрирования. При этом если исходная и новая переменные [pic] и [pic] связаны соотношением [pic], где [pic] - обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо равенство [pic], в правой части которого после вычисления интеграла следует сделать обратную замену [pic]. В частности, используя замену [pic] (или [pic]), получаем формулу [pic], позволяющую обобщить табличные интегралы. Например: [pic] ([pic]), [pic], [pic], где [pic] и [pic] - произвольные постоянные, [pic]. Примеры. Найдем интегралы, применяя полученные формулы: а) [pic]; б) [pic]; в) [pic]; г) интеграл [pic] найдем, сделав замену [pic], [pic]. Тогда [pic], где использован результат примера в); д) [pic]. Упражнения[pic] 1. Найти интегралы: 1) [pic]; [pic]; [pic] 2) [pic]; 3) [pic]; [pic]; [pic] [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. 2. Найти интегралы: 1) [pic]; [pic]; 2) [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. Ответы 1. 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) [pic]; 6) [pic]; 7) [pic]; 8) [pic]; 9) [pic]. 2. 1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic]; 4) [pic]; 5) [pic]; 6) [pic]; 7) [pic]; 8) [pic]; 9) [pic]; 10) [pic]; 11) [pic]; 12) [pic]; 13) [pic]; 14) [pic]; 15) [pic].