Материалы сайта
Это интересно
Шпора по математическому анализу
|6. | |11. Линейные | |12. Лин однор | |Дифференциальные и| |однородные диф. | |дифуры(ЛОДУ) n-го | |интегральные | |ур-я n-го порядка | |порядка с пост | |неравенства. | |с пост коэф(случ | |коэф (случ кратн | |1)Т. Чаплыгина о | |прост корней). | |корней). | |дифференциальных | |1)Хар мн-н и мет | |1)Хар ур-е и мет | |неравенствах. | |Эйлера | |Лагранжа | |2)Лемма о линейных| |2)Комплексная | |2)Ф-ла смещения | |диф. нер-ах. | |теорема об общем | |3)Теор об общ | |3)Т. Райда об | |решении | |компл реш-ии | |интегральных | |3)Выделение | |4)Теор об общ вещ | |неравенствах | |вещественного | |реш-ии | |4)Лемма Беллмана о| |решения из | | | |лин. интегр. | |комплексного | |1:)Хар ур-е и мет | |нер-ах. | |4)Вещ теор об общ | |Лагранжа | | | |реш. | |Рассмотрим ЛОДУ | |1:) Т. Чаплыгина о| | | |n-го порядка с | |дифференциальных | |1:) Хар мн-н и мет| |пост коэф: | |неравенствах. | |Эйлера | |y(n)+a1y(n-1)+...+| |Введём в | |y(n)+a1y(n-1)+...+| |any=0 (1). | |рассмотрение | |any=0 (1) – лин | |a1,...,an(R или | |прямоуг. D+=(x,y):| |диф ур-е n-го | |(C. Сопост этому | |x0<=x<=x0+a, | |порядка; | |ур-ю хар ур-е: | ||y-y0|<=b} (1) и | |a1,a2,...,an(R или| |L(()=(n+a1(n-1+...| |рассмотрим на этом| |(С. Из нелок теор | |+an=0 (2). По осн | |прямоуг. ф-ю | |(-я ед-ти, для | |теор алгебры мн-н | |f(x,y), непр. по | |(нач усл вида | |имеет n-корней, | |совок. перем. | |y(x0)=y0,...,y(n-1| |если кажд корень | |удовл усл Липшица | |)(x0)=y0(n-1). | |считать столько | |по второй перем. | |Ур-е (1) имеет ед | |раз, какова его | |По Т. Коши-Липшица| |реш, и это реш | |кратность. | |( начальная задача| |определено на всей| |(1,...,(n; | |y’=f(x,y) | |числовой прямой. | |k1+...+ks=n (3). | |x0<=x<=x0+a (2) | |y=e(x (2), буд | |k1,..,ks-кратность| |имеет ед реш на | |искать реш-я (1) в| |. | |[x0,x0+a]. | |таком виде, где ( | |L(()=((-(1)k1((-(2| |Т. Чаплыгина: | |подлежит | |)k2... ((-(s)ks | |Пусть дифференциал| |определению. | |(4). Рассм след | |ф-ии U(x): | |y=e(x, y’=(e(x, | |сист ф-ий: | |U’(x)<=f(x, U(x)) | |y(n)=(ne(x; | |y1(x)=e([1]x; | |x0<=x<=x0+a (3) | |((n+a1(n-1+...+an)| |y2(x)=xe([1]x;...;| |U(x0)<=y0 (4). | |e(x=0, e(x(0. | |yk[1](x)=xk[1]-1e(| |Пусть ф-я V(x) явл| |(n+a1(n-1+...+an=0| |[1]x; | |решением нач | |(3). Решение вида | |yk[1]+1(x)=e([2]x;| |задачи V(x): | |(2) (-ет тогда и | |...; | |V’(x)=f(x,V’(x)), | |только тогда, | |yk[1]+k[2](x)=xk[2| |x0<=x<=x0+a (5), | |когда (-ют корни | |]-1e([2]x;...; | |V(x0)=y0 (6), | |(3). Это уравнение| |yk[1]+...+k[s-1]+1| |тогда U(x)<=V(x), | |называется | |(x)=e([s]x; | |x0<=x<=x0+a. Здест| |характеристическим| |yk[1]+...+k[s-1]+2| |ф-я f(x,y) опр в | |, а его корни | |(x)=xe([s]x; | |прямоуг. D+ и | |наз-ся | |yn(x)=x([s]-1e([s]| |обладает всеми | |характеристическим| |x. (5) Это лин-нез| |перечисленными | |и корнями, а мн-н | |решения. Их n | |выше свойствами. | |характеристическим| |штук. Идея | |Д-во: предп | |. Согласно | |Лагранжа: | |сначала, что вып | |основной теореме | |(e((+(()x-e(x)/(((| |строгое н-во: | |алгебры, мн-н n-ой| |xe(x. | |U’(x)| |кажд корень | |дифференциальный | |U(x0) =V(x1). | |реш-ий (1). Если | |/dx)f(x)e(xf(x)+be| |Таким образом | |корни кратные, то | |(xf(x)=a((e(xf(x))| |между х0 и х1 ( | |в (5) будут | |+e(xf(x)*(d/dx)+be| |такие х, в кот U и| |повторяющиеся | |(xf(x)= | |V совпадают. Обозн| |решения, и напис | |=e(x{apf(x)+a(f(x)| |кажд из этих точек| |решений будет | |+bf(x)}=e(xf(x){a(| |через х*: | |недостаточно. | |p+()+b}=e(xf(x)L(p| |U(x*)=V(x*). | |2:) Теорема об | |+(); | |Ограничимся | |общем комплексном | |L(p)=M(p)N(p) | |рассмотрением инт | |решении: | |L(p){e(xf(x)}=(M(p| |x0<=x=x*. Имеем: | |Пусть хар-е корни| |)N(p)){e(xf(x)}=M(| |_ U(x) (V(x)-V(x*))/(x-| |компл числа для | |=e(xf(x)L(p+(); | |x*) | |(i=1..n. | |(j(x)=e(xxj; | |и перейд к lim при| |Д-во: Н-но д-ть, | |j=0,1,...,k-1 (8).| |x(x* | |что ф-ии (5) образ| | | |U’(x*)>V’(x*) (*)| |фунд сист, т.е. | |Докажем, что кажд | | | |что ф-ии (5) | |из ф-ий в (8) явл | |V’(x*)=f(x*,U(x*))| |лин.-нез. | |реш-ем (1). | |=f(x*,U(x*))>U’(x)| |Посчитаем | |L(p)=M(p)(p-()k; | | | |вронскиант (5):(от| |L(p)((x)=L(p){e(xx| |V’(x*)>U(x*) (**) | |меня: Л=(): (7) | |j}=e(xxjL(p+()(=) | |Н-ва (*) и (**) | |=>(5) явл фунд. | |использовалась | |противоречат друг | |Теор д-на | |формула смещения | |другу, что и | |3:) Выделение | |(=)e(xxjM(p+()pk=0| |доказывает строгое| |вещественного | |, т.к. pkxj=0. | |н-во U(x) j; | |x0<=x<=x0+a. | |комплексного. | |pkxj=k!, if k=j; | |Предположения | |Пусть зад (1), | |pkxj=j(j-1)...(j-k| |U’(x)<=f(x,U(x)), | |когда a1,...,an(R.| |+1)xj- k,if k =U(x), и | |(2j=(j-i(j,j=1,..,| |(10).(???) | |g(x,y)=f(x,U(x)),ф| |k (8). Т.о. | |L(p)(1(x)=e(xL(p+(| |if y=k, тогда м-но | |перем, с той-же | |(2k+1,...,(n(R. | |взять ф-ю (l((), | |пост, что и | |Полученные вещ реш| |тогда pl(l(x)=l! и| |f(x,y). Введём в | |ур-я (1). Выдел | |M(p+()l!=0. Пусть | |рассмотрение ф-ю | |вещ реш-я из | |p=0, тогда M(()(0.| |W(z), как реш нач | |компл: y2j-1(x)= | | | |зад | |e((2j-1)x; | | | |W’(x)=g(x,W(x)), | |y2j-1(x)= e((2j)x;| |3:)Теор об общ | |x0<=x=x0+a (7). | |y2k+1(x)= | |компл реш-ии | |W(x0)=y0 (8). Ф-я | |e((2k+1)x; | |В уравнении (1) | |V(x) ( и опр-ся | |yn=e(nx; (9). | |общее комплексное | |единственным | |y=c1y1(x)+c2y2(x)+| |решение имеет вид:| |образом. Н-но | |...+c2k-1y2k-1(x)+| |c1y1(x)+...+cnyn(x| |пок-ть, что | |c2ky2k(x)+ | |) (11), где | |U(x)<=W(x), | |c2k+1y2k+1(x)+..+c| |c1,...,cn(C-произв| |x0<=x=x0+a (9). | |nyn(x)(=) (10). | |, а у1,...,уn | |U(x0)<=y0<=V(x0). | |Ф-я вида (10), | |приведены в (5). | |Предп, что (9) не | |получ из (9), явл | |e([1]xf1(x)+e([2]x| |вып-ся на всём | |вещ тогда и только| |f2(x)+...+e([s]xfs| |[x0, x0+a], т.е. | |тогда, когда | |(x), (( От себя: | |(х1, для кот | |произв пост при | |Л=( в матрице) | |U(x1)>W(x1) между | |компл-сопряж | | | |х0 и х1, (х* в | |реш-ях комплексно | |Это означает, что | |котор U(x*) 0, | |(10) даёт вещ реш | |записать как | |x((x*,x1]. | |(???), то | |столбец). | |(’(x)=U’(x)-W’(x)<| |(=)c-1y-1(x)+c-2y-| |M(p)=b0pn-1+b1pn-2| |=f(x,U(x))-g(x,W(x| |2(x)+...+ | |+...+bn. | |))=f(x,U(x))-f(x,U| |c-2k-1y-2k-1(x)+ | |M(p)yj(x)=0, при | |(x))=0. Т.о. | |c-2ky-2k(x)+ | |x=x0 (13). | |(’(x)<=0 => ф-я | |c-2k+1y-2k+1(x)+..| |M(p)=(j(x), при | |((х) невозр, | |.= | |x=x0=0; | |поэтому ((x)<=0. | |c-1y2(x)+c-2y1(x)+| |j=0,1,...,kj-1; | |Получили против. | |...+c-2k-1y2k(x)+c| |(=(j. | |Знач верно (9). | |-2ky2k-1(x)+c2k+1y| |(1 является корнем| |Ф-я g(x,W(x)) при | |2k+1(x)+... Чтобы | |M(p), кратности | |условии W(x) кратн | |(10). | |реш: | |(n-1, => | |W(x0)=y0 (11). По | |Пусть (1) имеет | |k1+...+ks=n, а | |теореме Коши – | |вещ коэф. Пусть | |этого быть не | |Липшица ф-ии W(x) | |корни хар | |может. | |и V(x) совпадают | |уравнения занумер | | | |на x0<=x<=x0+a => | |так, как указ в | |4:)Теор об общ вещ| |U(x)<=V(x). | |(8).Тогда общее | |реш-ии | |Теоремка док-на!!!| |вещественное | |Если коэффициенты | | | |решение (1) имеет | |вещественные, то | |2:) Лемма о | |вид: | |если есть корни | |линейных | |у=e((1)x(a1*cos | |(=(+i(; (-=(-i(, | |дифференциальных | |(1x+b1sin | |((0 кратн k. Компл| |нерав-ах. | |(1x)+...+ | |корню ( кратности | |( a(x) и b(x) непр| |e((k)x(ak*cos | |k отвечает группа | |и опр на | |(kx+bksin | |решений: e(x(a1cos| |x0<=x<=x0+a. Пусть| |(kx)+c2k+1e((2k+1)| |(x+b1sin | |диффер ф-я U(x) | |x+...+ cne((n)x | |(x+x(a2cos | |удовл н-ву: | |(13). | |(x+b2sin | |U’(x)<=a(x)U(x)+b(| |a1,...,an,b1,...,b| |(x)+...+xk-1(akcos| |x) (12), | |n,c2k+1,...,c2n(R.| |(x+bksin (x)); | |U(x0)<=y0 (13). | |(( От себя: | |a1,..,an,b1,...,bn| |Тогда справедлива | |((k)x=(kx, c-=c(с | |(R. | |оценка: | |чертой) и т.п.) | |e(x((1cos((x+(1)+x| |U(x)<=y0e(x0..x)(a| |Другая форма | |(2cos((x+(2)+...+x| |(V)dV+(x0..x)(e(s.| |записи: | |k-1(kcos((x+(k); | |.x)a(()d(*b(s)ds | |(=(+i(. C=Ѕ(ei( | |(1,...,(k>0; | |(14) | |ce(x+ c-e((c | |(1,...,(n-(const.(| |Д-во: Определим | |чертой)x=(e(xcos((| |15) | |ф-ю | |x+() (14) | |Если же корень | |f(x,y)<=a(x)y+b(x)| |Пусть коэф (1) явл| |((R, то ему | |. Эта ф-я | |вещ числами. Пусть| |отвечает группа | |непрерывна и удовл| |корни хар ур-я явл| |решений след вида:| |условию Липшица по| |простыми и занум, | |e(x(c1+c2x+...+ckx| |2-й переменной: | |как в (8). Тогда | |k-1) (16). Для | |(f(x,y)/(y=a(x), | |общ вещ реш-е (1) | |того, комплексные | ||a(x)|<=L, т.к. | |м-но записать в | |решения давали | |a(x)-непр. Обозн | |виде: | |вещественное необх| |через G(x) реш нач| |y=(1e((1)xcos((1x+| |и дост, чтобы при | |зад, | |(1)+...+(ke((k)xco| |компл произв пост | |V’(x)=a(x)V(x)+b(x| |s((kx+(k)+c2k+1e((| |были компл | |), x0<=x<=x0+a | |2k+1)x+cne((n)x | |сопряжены, а при | |(15), V(x0)=y0 | |(15) | |вещ – вещественно.| |(16), в этом случ | |0<(1,..,(k(R; | | | |вып-ны все усл | |(1,..,(k(R; | | | |теор Чаплыгина о | |c2k+1,...,cn(R | | | |диф нер-ах, | | | | | |поэтому: | | | | | |U(x)<=V(x) на | | | | | |[x0;x0+a], и тем | | | | | |самым н-во (14) | | | | | |д-но. Предп | | | | | |теперь, что | | | | | |a(x)<=a, b(x)<=b. | | | | | |Н-во прин вид: | | | | | |U’(x)<=aU(x)+b | | | | | |(17). U(x0)<=y0 | | | | | |(18) и для U(x) | | | | | |справ-ва оценка: | | | | | |U(x)<=y0*ea(x-x0)+| | | | | |b/a*(ea(x-x0)-1) | | | | | |(19) | | | | | |3:) Т. Райда об | | | | | |интегральных | | | | | |неравенствах | | | | | |Предп, что на D+ | | | | | |определена ф-я | | | | | |f(x,y) непр по | | | | | |совок перем, удовл| | | | | |усл Липшица по | | | | | |втор перем, и не | | | | | |возр по 2-й перем,| | | | | |т.е. | | | | | |f(x,u)<=f(x,V), if| | | | | |U<=V. Пусть непр | | | | | |ф-я U(x) удовл инт| | | | | |н-ву: | | | | | |U(x)<=y0+(x0..x)(f| | | | | |(s,U(s))ds (20), | | | | | |x0<=x<=x0+a. Пусть| | | | | |непр ф-я V(x) явл | | | | | |реш | | | | | |V(x)=y0+(x0..x)(f(| | | | | |s,V(s))ds (21), | | | | | |V(x0)=y0 (22), | | | | | |тогда ф-я | | | | | |U(x)<=V(x), | | | | | |x0<=x<=x0+a. | | | | | |Д-во: Обозначим | | | | | |через W(x) правую | | | | | |чать неравенства | | | | | |(20). | | | | | |W(x)=y0+(x0..x)(f(| | | | | |s,U(s))ds, => | | | | | |U(x)<=W(x). Т.к. | | | | | |U(x) явл решением | | | | | |(21), то она удовл| | | | | |диф ур-ю: | | | | | |W(x)=f(x,U(x)), | | | | | |т.к. U(x)<=W(x), и| | | | | |ф-я f не возр по | | | | | |втор перем: | | | | | |V’(x)<=f(x,W(x)), | | | | | |функц W(x) удовл | | | | | |дифуре: | | | | | |W’(x)=f(x,U(x)) – | | | | | |вып все усл теор | | | | | |Чаплыгина о диф | | | | | |нер-ах => | | | | | |V(x)<=W(x) на | | | | | |x0<=x<=x0+a. | | | | | |Теорема доказана. | | | | | |4:) Лемма Беллмана| | | | | |о лин. интегр. | | | | | |нер-ах. | | | | | |Пусть a(x), b(x) | | | | | |непр на [x0;x0+a] | | | | | |и пусть a(x)>=0, и| | | | | |пусть ф-я U(x)<= | | | | | |y0+(x0..x)(f(s,U(s| | | | | |))ds (23), тогда | | | | | |спр-во и др н-во: | | | | | | | | | | | |U(s)<=y0e(x0..x)(a| | | | | |(()d(+(x0..x)(e(s.| | | | | |.x)(a(()d(*b(s)ds | | | | | |(24) | | | | | |Д-во: определим | | | | | |функцию | | | | | |f(x,y)(a(x)y+b(x).| | | | | |Она непр и удовл | | | | | |усл Липш и невозр | | | | | |по втор перем. | | | | | |(f(x,y)/(y(a(x)>=0| | | | | |. Опр ф-ю, как реш| | | | | |ур-я | | | | | |V(x)=y0+(x0..x)((a| | | | | |(s)V(s)+b(s))ds | | | | | |(25), V(x0)=y0. По| | | | | |теореме Райда, | | | | | |U(x)<=V(x), и | | | | | |V’(x)=a(x)V(x)+b(x| | | | | |) (26), V(x0)=y0 | | | | | |(27). Решение нач | | | | | |зад (26)-(27) | | | | | |определяется ф-ой | | | | | |V(x)=x0*e(x0..x)(a| | | | | |(()d(+(x0..x)(e(s.| | | | | |.x)(a(()d(*b(s)ds,| | | | | |что и доказ лемму.| | | | | | | | | | | |Если a(x)<=a>=0, | | | | | |b(x)<=b, тогда | | | | | |U(x)<=y0+(x0..x)((| | | | | |aU(s)+b)ds (29) и | | | | | |спр оценка сверху | | | | | |U(x)<=y*ea(x-x0)+b| | | | | |/a*(ea(x-x0)-1) | | | | | |(30) | | | | | ----------------------- [pic] [pic]