Материалы сайта
Это интересно
Шпора по математическому анализу
|13. Линейные | |10. Линейные неодн| |Лекция №7 | |неоднородные диф | |ДУ n-го порядка с | |1.Определение ( | |ур-я n-го порядка | |перем коэф. | |решения. | |с правой частью | |1)Теорема (я и | | | |квазимногочлена. | |ед-ти решения нач | |Предп. что | |1)Квазимногочлены | |задачи | |рассматр. нач. | |и их свойства | |2)Теорема об общем| |задача вида | |2)Правило | |решении | |(1)-(2) | |нахождения | |3)Метод Лагранжа | |у(=f(x,у)(1) | |частного решения в| |вариации произв | |у(х0) =у0(2) | |нерезонансном | |пост | |f(x,у) – непр. по | |случае | |4)Ф-я Коши и её | |совокупн. решенных| |3)Правило | |св-ва | |предполог., что | |нахождения | | | |f(x,у) рассматр. | |частного решения в| |1:)Теорема (я и | |на прямоугольнике | |резонансном случае| |ед-ти решения нач | |D={(х,у): | | | |задачи | ||х-х0|<=а , | | | |y(n)+a1(x)y(n-1)+.| ||у-уо|<=б} | |1:)Квазимногочлены| |..+an(x)y=f(x) | |(M=maх|f(x,у)| | |и их свойства | |a| |теоремой ( и | |Проинтегр. рав-ва | |pj(x)=0, (j=1..k | |единств реш нач | |у((х) и для z((х) | |(5). Проведём | |зад. | |у(х)=y0+(x0,x)?{f(| |доказательство | |Связь между ур-ми | |s,y(s))+((s)}ds | |ММИ: | |n-го порядка и | |(11) | |1)k=1;f(x)=e([1]xp| |системой из | |z(x)=z0+(x0,x)?{g(| |1(x)(0 | |n-уравнений 1-го | |s,z(s))+((s)}ds | |2)Пусть многочлен | |порядка: возьмём | |(12) | |вида (3)=0. | |уравнение 2-го | |вычтем. почленно | |Разделим (3) на | |порядка с непр | |из (11)-(12) и | |e([k]x: | |коэф: | |оценим разницу по | |e(([1]-([k])xp1(x)| |y’’+p(x)y’+q(x)y=f| |иодулю: | |+e(([2]-([k])xp2(x| |(x). | |у(х)-z(x)=y0-z0+(x| |)+...+pk=0. Пусть | |y1(x)=y(x);y2(x)=y| |0,x)?{f(s,y(s))+g(| |rk-степень | |’(x); | |s,z(s))+((s)+((s)}| |многочлена. Если | |y1’(x)=y’(x)=y2(x)| |ds (13) | |продифференцироват| |; | ||y(x)-z(x)|<=|y0-z| |ь многочлен | |y2’(x)=y’’(x)=f(x)| |0|+|?{f(s,y(s))+g(| |rk-раз, то ничего | |-p(x)y(x)-q(x)y=f(| |s,z(s))+((s)+((s)}| |не останется. | |x)-p(x)y2(x)-q(x)y| |ds|<=|y0-z0|+(x0,x| |Pr[k]+1((j=1..k-1)| |1(x). | |){|f(s,y(s))-g(s,z| |(e(([j]-([k])xpj(x| |Cистема: | |(s))|+|((s)-((s)|d| |)+pk(x))=0. Можно | |y1’=y2; | |s | |примеить формулу | |y2’=-q(x)y1-p(x)y2| ||f(s,y(s))-f(s,(z(| |смещения: | |+f(x) | |s))|<=L|y(s)-z(s)|| |(j=1..k-1)(e(([j]-| | | |(14) | |([k])xpj(x)*(p+(j-| |2)Теорема об общем| ||f(s,z(s))-g(s,z(s| |(k)r[k+1]=0. | |решении | |))|<=( | |Получили квазимн-н| |Пусть | ||y(x)-z(x)|<=|y0-z| |порядка k-1. | |y1(x),...,yn(x) | |0|+(x0,x)?L|y(s)-z| |e(([1]-([k])xg1(x)| |(4) – фунд сист | |(s)|+(+(+(}ds | |+...+e(([k-1]-([k]| |решений однор ур-я| ||((x)<=(; | |)xgk-1(x)(0; | |(3), а z(x) – | ||((x)|<=( | |gj(x)(pj(x)*(p-(j-| |какое – либо | |П. | |(k)r[k+1]; | |частное решение | ||y(x)-z(x)|=u(x).Е| |j=1..k-1 => | |неодн ур-я (1) | |огда посднее н-во | |gj(x)(0. Если при | |имеет след вид: | |м-но зап-ть в | |p=0 получ 0, то | |y=c1y1(x)+...+cnyn| |след. виде | |дифференциальный | |(x)+z(x) (5), где | |U(x)<=U(x0)+(x0,x)| |оператор сохраняет| |с1,...,cn – произв| |?LU(s)+(+(+(}ds | |степень | |пост. | |(15) | |многочлена. | |Д-во: Докажем, что| |Пользуясь леммой о| |pj(x)(0, | |(5) всегда даёт | |лин. инт. нер-ах | |j=1..k-1;=> (5) – | |решение (1) при | |м-но вып-ть оценку| |д-но | |(c1,...,cn. Вся | |ф-ции U(x) если | |Тхеоремена | |первая часть (5) –| |ф-ции у(х) и z(x) | |доказякана | |решение (3). | |это точные реш-я, | | | |Добавл к нему | |то (,(,( =0 | |2:)Правило | |частн реш z(x), | ||y(x)-z(x)|<=L|x-x| |нахождения | |получ реш неодн | |0|; | |частного решения в| |(1). Покаж, что ( | ||y0-z0|+(((+(+()/L| |нерезонансном | |решение неодн ур-я| |)(eL|x-x0|-1) | |случае | |(1) м.б. записано | | | |Пусть L(()(0. (7).| |в виде (5) при нек| |2 Th | |Этот случай | |пост c1,...,cn. | |единственности и | |называется | |If y(x) – частн | |оценка разности | |нерезонансным. | |решение (1), то | |решений | |Частное решение | |y(x)–z(x) – | ||y(x)-z(x)|<= | |ур-я (1) запис в | |решение однор ур-я| |eL|x-x0||y0-z0|, | |след виде: | |(3). По теореме об| |y0=z0 (17) | |y=e(xg(x). | |общем решении в | |y(x)? z(x) | |deg(g)=deg(p) (8).| |(3) мы можем | |Прич. если нач. | |Теория утверждает,| |указать такие | |усл. совп. то | |что эта система | |c1,...,cn – что | |совп. и сами | |всегда имеет | |y(x)–z(x)=c1y1(x)+| |ф-ции. | |единственное | |...+cnyn(x). | | | |решение => | |Перенося z – | |3 Зависимость от | |коэффициенты g(x) | |вправо, получ (5).| |правой части | |определяются | |Теорема доказана. | |если у(х) и z(x) | |однозначно. | |Общее решение | |это точное реш-е | |Д-во: | |однородного | |но разных задач, | |L(p)y=e(xp(x). | |уравнения есть ( | |то в этом случае | |Учитывая (8), | |общ решения соотв | |(=(=0, (>0 и м-но | |получаем: | |однор ур-я, и | |оценить разницу | |L(p){e(xg(x)}=e(xp| |какого – либо | |между у(х) и z(x) | |(x). Применим к | |частн решениия | | | |лев части ф-лу | |неодн ур-я. | ||y(x)-z(x)|<= | |смещения: | | | |eL|x-x0||y0-z0|+((| |e(xL(p+()g(x)=e(xp| |3:)Метод Лагранжа | |/L)( eL|x-x0|-1) | |(x). | |вариации произв | |(18) | |L(p+()g(x)=p(x). | |пост | |Н-во (18) зад. | |L(()(0 | |Лагранж предложил | |зависимость от | | | |искать частные | |прав. частей. | |3:)Правило | |решения в виде (5)| |4 Оценка разности | |нахождения | |без z(x), только | |между ( решениями | |частного решения в| |константы считать | |Если y(x) и z(x) | |резонансном | |ф-ми: | |это соотв. ( и ( | |случае. | |y=c1(xz)y1(x)+…+cn| |реш-я нач. задачи | |Мы решаем (1) c | |(x)yn(x) (6). Если| |(1)-(2) , то это | |правой частью вида| |c1,….,cn выбирать | |знач. что гач. | |(6), но снимая | |так, чтобы вып-сь | |усл. совпадают | |ограничения (7). | |след усл: | |у0=z0, (=0, И | |Этот случай наз-ся| |Система: (7) | |оценка разности | |резонансным. | |с1’(x)y(x)+…+cn’(x| |решний приобретает| |L(()=0 (9). | |)yn(x)=0; | |такой вид: | |k-кратность (, как| |…… | ||y(x)-z(x)|<= | |корня хар ур-я. | |c1’(x)y(n-2)(x)+…+| |eL|x-x0||y0-z0|+((| |y=e(xxkg(x) (10). | |cn’(x)y(n-2)n(x)=0| |/L)( | |Deg(g)=Deg(p). | | | |eL|x-x0|-1)=(((+ | |(10) частное | |c1’(x)y(n-1)(x)+…+| |()/L)( eL|x-x0|-1)| |решение. Теория | |cn’(x)y(n-1)n(x)=f| |(19) | |утверждает, что | |(x) | |если у(х) это | |нахождение g(x) | | | |точн. реш-е при | |имеет единственное| |if c1(x),..,cn(x) | |этом (=0 и п. z(x)| |решение. | |– удовл усл (7), | |это ( реш-е | |Д-во: | |то (6) даёт | ||y(x)-z(x)|<= | |L(p)y=e(xp(x); | |решение (1). | |((/L)( eL|x-x0|-1)| |L(p){e(xxkg(x)}=e(| |Д-во: В этой | |(20) | |xp(x). Применим | |системе неизв явл | |5 Метод ломаных | |ф-лу смещения: | |c1’,…,cn’ | |Эйлера | |e(xL(p+(){xkg(x)}=| |Матрицей (7) явл | |Метод ломаных- это| |e(xp(x); | |W(x)<>0(сост матр | |метод численного | |L(p+(){xkg(x)}=p(x| |из игриков) => это| |интегрир. нач-ой | |). Нужно найти | |система имеет | |задачи. Для этого | |g(x), удовл | |единственное | |весь пр-к опред-я| |последн ур-ю. Т.к.| |решение. Проверим,| |ф-ии по х разб. на| |(-корень хар ур-я,| |что (6) при вып | |части х0 <х1<… 0 то в силу| | | | | |непр. ф-ции f(x,у)| | | |ci(x)=(Wi(x)/W(x))| |: | | | |f(x) (11), i=1..n;| ||f(x,у)- | | | |Wi – | |f(x,z)|<=( если | | | |алгебрарическое | ||x-s|<=(, | | | |дополнение к эл-ту| ||y-z|<=(, ( | | | |n-ой строки стоящ | |((()>0 (непр. по | | | |в i-м столбце. | |совок. переменных)| | | |ci(x)= | |M=maх|f(x,у)| | | | |ci+(x0..x)((Wi(s)/| |Д-во | | | |W(s))f(s)ds, | |Из (25) вытекает | | | |i=1,…,n (12). | ||y(((x)-f(x,у((x))| | | |Подставим в (6): | || | | | |y=(i=1..n)(ciyi(x)| |=|f(xi,уi)-f(xi,уi| | | |+(i=1..n)(((x0..x)| |)+(x-xi)f(xi,уi))|| | | |((Wi(s)/W(s))f(s)d| |<=( (26) | | | |s)yi(x)=(i=1..n)(c| ||x-xi|<=(; | | | |iyi(x)+(x0..x)((i=| ||x-xi||f(xi,уi)|<=| | | |1..n)((Wi(s)/W(s)f| |(M | | | |(s))y(x)ds) (13) | |При достаточно | | | |K(x)=(i=1..n)((y(x| |малом шаге | | | |)Wi(s))/W(s) (14);| |ломаная Эйлера | | | |x,s((a;b) | |становится ( | | | |y=(i=1..n)(ciyi(x)| |решением | | | |+(x0..x)(K(x,s)f(s| |6 Оценка | | | |)ds (15) – | |погрешности метода| | | |интегральный | |ломаных Эйлера | | | |оператор | |Предп. что f(x,у) | | | | | |удовл. усл. Лищица| | | | | |по кажд. | | | | | |переменной | | | | | |т.е. разница : | | | | | ||f(x,у) | | | | | |–f(s,z)|<=k|x-s|+L| | | | | ||y-z| (27) | | | | | |Вэтом случае | | | | | ||y(((x)-f(x,у((x))| | | | | ||=|f(xi,yi)-f(x,yi| | | | | |+(x-xi)f(xi,уi)|<=| | | | | | | | | | | |( в кач-ве у(х) | | | | | |выбир. отн. Эйлера| | | | | |) | | | | | |<= | | | | | |k|x-xi|+|x-xi|LM<=| | | | | |(k+(()(( (28) | | | | | |Восп. соотн. (20) | | | | | |Пусть сетка будет | | | | | |равномерной | | | | | ||y(x)-y((x)|<=(((k| | | | | |+ML)()/h)(eL|x-x0|| | | | | |-1) (29) | | | | | ||y(x)-y((x)|<= | | | | | |h(M+k/h)(eL|x-x0|-| | | | | |1) (30) | | | | | |Оценка (30) наз-ся| | | | | |оценкой первого | | | | | |пор-ка точности. | | | | | |Задаваясь опред. | | | | | |точностью и зная | | | | | |числа k,M,L можно | | | | | |определить h таким| | | | | |обр. чтобы посл. | | | | | |произв. было <(. | | | | | |Тогда соотв. и | | | | | |разн. между ф-ей | | | | | ||y(x)-y((x)|<( | | | | | |(32) |