Материалы сайта
Это интересно
Лекции по ТОЭ
| Теория / ТОЭ / Лекция N 11. Особенности составления матричных уравнений при | |наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками. | | Матрицы сопротивлений и проводимостей для цепей со взаимной индукцией | |Как было показано ранее (см. лекцию N 6 ), для схем, не содержащих индуктивно связанные | |элементы, матрицы сопротивлений и проводимостей ветвей являются диагональными, т.е. все | |их элементы, за исключением стоящих на главной диагонали, равны нулю. | |В общем случае разветвленной цепи со взаимной индукцией матрица сопротивлений ветвей | |имеет вид | |Z [pic]. | | | |Здесь элементы главной диагонали [pic], [pic],… [pic]- комплексные сопротивления ветвей | |схемы; элементы вне главной диагонали [pic] - комплексные сопротивления индуктивной | |связи i- й и k – й ветвей (знак “+” ставится при одинаковой ориентации ветвей | |относительно одноименных зажимов, в противном случае ставится знак “-”). | |Матрица проводимостей ветвей в цепях со взаимной индукцией определяется согласно | |Y = Z –1 . | |Зная матрицы и Y , можно составить контурные уравнения, а также узловые, т.е. в | |матричной форме метод узловых потенциалов распространяется на анализ цепей с индуктивно | |связанными элементами. | |Следует отметить, что обычно не все ветви схемы индуктивно связаны между собой. В этом | |случае с помощью соответствующей нумерации ветвей графа матрице Z целесообразно придать| |квазидиагональную форму | |Z [pic], | | | |что облегчает ее обращение, поскольку | |Y [pic], | | | |где подматрицы [pic] могут быть квадратными диагональными или недиагональными. | |В качестве примера составим матрицы Z и Y для схемы на рис. 1,а, граф которой приведен | |на рис. 1,б. | |[pic] | |Для принятой нумерации ветвей матрица сопротивлений ветвей | | | | | |Z [pic]. | | | |В этой матрице можно выделить три подматрицы, обращая которые, получим | | | |Z-111 | |[pic]; | | | | | |Z-122 | |[pic]; | | | | | |Z-133 | |[pic] . | | | |Таким образом, матрица проводимостей ветвей | |Y [pic]. | | | |Отметим, что при принятой ориентации ветвей [pic] и [pic]. | | | | | | | |[pic] | | | | | |В качестве примера матричного расчета цепей с индуктивными связями запишем контурные | |уравнения в матричной форме для цепи рис. 2,а. | | | | | |Решение | |1. Для заданной цепи составим граф (см. рис. 2,б), выделив в нем дерево, образованное | |ветвью 3. | |Тогда матрица главных контуров имеет вид | |В [pic]. | |2. Запишем матрицу сопротивлений ветвей с учетом их принятой ориентации | |Z [pic]. | |3. Определим матрицу контурных сопротивлений | |Zk=BZBT[pic] | |[pic] | | | |4. Запишем столбцовую матрицу контурных ЭДС | | | |[pic][pic]. | |5. Подставив найденные выражения в [pic], окончательно получим | |[pic]. | | | |Составление матричных соотношений при наличии ветвей с идеальными источниками | |В цепи могут иметь место ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС или тока. При | |записи уравнений без использования матричных соотношений такие ветви не вносят | |каких-либо особенностей в их составление. Однако, если уравнения записываются по второму| |закону Кирхгофа в матричной форме или используется матричная форма контурных уравнений, | |то в матрице сопротивлений ветвей Z ветвям, содержащим идеальные источники тока, будут | |соответствовать диагональные элементы [pic]. Поэтому при наличии таких ветвей исходная | |схема перед составлением уравнений должна быть подвергнута соответствующему | |преобразованию, иллюстрируемому рис. 3. | | | |[pic] | | | |Здесь идеальный источник тока [pic] (см. рис. 3,а) включен между узлами k и n. | |Подключение к узлам l и m по два одинаковых по величине и противоположно направленных | |источника тока [pic] (см. рис. 3,б) не влияет на режим работы цепи, что указывает на | |эквивалентность замены исходной цепи на рис. 3,а схемой на рис. 3,б. | |Может быть другой случай, когда уравнения в матричной форме записываются по первому | |закону Кирхгофа или используется матричная форма узловых уравнений, а в цепи имеют место| |ветви, содержащие только идеальные источники ЭДС. Для таких ветвей соответствующие им | |диагональные элементы матрицы Y будут равны [pic]. Поэтому при наличии таких ветвей | |исходную схему перед составлением уравнений необходимо подвергнуть преобразованию, | |поясняемому рис. 4. | |Здесь участок исходной цепи (см. рис. 4,а) содержит ветвь с идеальным источником ЭДС | |[pic]. Включение в каждую ветвь, соединенную с узлом n, источника с ЭДС, равной [pic], | |и направлением действия, указанным на рис. 4,б, позволяет (в силу того, что [pic]) | |трансформировать исходную цепь в схему, представленную на рис. 4,в. | | | | | | | |[pic] | | | | | |Литература | |Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. | |–5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. | |Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для | |студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов.| |–7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. | |Контрольные вопросы и задачи | |В чем отличие матриц сопротивлений и проводимостей ветвей для цепей с отсутствием и | |наличием индуктивных связей? | |В чем заключается особенность нумерации ветвей графа при наличии индуктивных связей? | |Какие особенности имеют место при составлении матричных соотношений для цепей, | |содержащих ветви с идеальными источниками? | |В цепи на рис. 5 [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. Приняв, что дерево образовано| |ветвью 1, составить контурные уравнения в матричной форме и определить токи ветвей. | |[pic] | |Ответ: | | | | | |[pic] | | | | | |[pic] | |[pic]. | | | |Для цепи на рис.5 составить узловые уравнения в матричной форме, на основании которых | |затем определить токи ветвей. | |Ответ: | |[pic]; | |. | |[pic] | |[pic] | | | | Теория / ТОЭ / Лекция N 12. Методы расчета, основанные на свойствах линейных | |цепей. | |Выбор того или иного метода расчета электрической цепи в конечном итоге определяется | |целью решаемой задачи. Поэтому анализ линейной цепи не обязательно должен | |осуществляться с помощью таких общих методов расчета, как метод контурных токов или | |узловых потенциалов. Ниже будут рассмотрены методы, основанные на свойствах линейных | |электрических цепей и позволяющие при определенных постановках задач решить их более | |экономично. | | | |Метод наложения | | | |Данный метод справедлив только для линейных электрических цепей и является особенно | |эффективным, когда требуется вычислить токи для различных значений ЭДС и токов | |источников в то время, как сопротивления схемы остаются неизменными. | |Данный метод основан на принципе наложения (суперпозиции), который формулируется | |следующим образом: ток в k – й ветви линейной электрической цепи равен алгебраической| |сумме токов, вызываемых каждым из источников в отдельности. | |Аналитически принцип наложения для цепи, содержащей n источников ЭДС и m источников | |тока, выражается соотношением | |[pic]. | |(1) | | | |Здесь [pic] - комплекс входной проводимости k – й ветви, численно равный отношению | |тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях; [pic] - комплекс | |взаимной проводимости k – й и i– й ветвей, численно равный отношению тока в k – й | |ветви и ЭДС в i– й ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях. | |Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально или аналитически, | |используя их указанную смысловую трактовку, при этом [pic], что непосредственно | |вытекает из свойства взаимности (см. ниже). | |Аналогично определяются коэффициенты передачи тока [pic], которые в отличие от | |проводимостей являются величинами безразмерными. | |Доказательство принципа наложения можно осуществить на основе метода контурных токов.| | | |Если решить систему уравнений, составленных по методу контурных токов, относительно | |любого контурного тока, например [pic], то получим | |[pic], | |(2) | | | |где [pic] - определитель системы уравнений, составленный по методу контурных токов; | |[pic] - алгебраическое дополнение определителя [pic]. | |Каждая из ЭДС в (2) представляет собой алгебраическую сумму ЭДС в ветвях i–го | |контура. Если теперь все контурные ЭДС в (2) заменить алгебраическими суммами ЭДС в | |соответствующих ветвях, то после группировки слагаемых получится выражение для | |контурного тока [pic] в виде алгебраической суммы составляющих токов, вызванных | |каждой из ЭДС ветвей в отдельности. Поскольку систему независимых контуров всегда | |можно выбрать так, что рассматриваемая h-я ветвь войдет только в один [pic]-й контур,| |т.е. контурный ток [pic] будет равен действительному току [pic] h-й ветви, то принцип| |наложения справедлив для токов [pic] любых ветвей и, следовательно, справедливость | |принципа наложения доказана. | |Таким образом, при определении токов ветвей при помощи метода наложения следует | |поочередно оставлять в схеме по одному источнику, заменяя остальные их внутренними | |сопротивлениями, и рассчитать составляющие искомых токов в этих схемах. После этого | |полученные результаты для соответствующих ветвей суммируются – это и будут искомые | |токи в ветвях исходной цепи. | |В качестве примера использования метода наложения определим ток во второй ветви схемы| |на рис. 1,а. | |[pic] | |Принимая источники в цепи на рис. 1,а идеальными и учитывая, что у идеального | |источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю, а у идеального источника тока – | |бесконечности, в соответствии с методом наложения приходим к расчетным схемам на | | рис. 1,б…1,г. | |В этих цепях | |[pic]; [pic]; [pic], | |где [pic]; [pic]; [pic]. | |Таким образом, | |[pic]. | |В качестве другого примера использования метода определим взаимные проводимости | |[pic] и [pic] в цепи на рис. 2, если при переводе ключа в положение 1 токи в первой и| |второй ветвях соответственно равны [pic] и [pic], а при переводе в положение 2 - | |[pic] и [pic]. | |Учитывая, что в структуре пассивного четырехполюсника не содержится источников | |энергии, на основании принципа наложения для состояния ключа в положении “1” можно | |записать | |[pic]; | |(3) | | | | | |[pic]. | |(4) | | | |При переводе ключа в положение “2” имеем | |[pic]; | |(5) | | | | | |[pic].. | |(6) | | | |Тогда, вычитая из уравнения (3) соотношение (5), а из (4)-(6), получим | |[pic]; | |[pic], | |откуда искомые проводимости | |[pic]; [pic]. | | | |Принцип взаимности | |Принцип взаимности основан на теореме взаимности, которую сформулируем без | |доказательства: для линейной цепи ток [pic] в k – й ветви, вызванной единственной в | |схеме ЭДС [pic], находящейся в i – й ветви, | |[pic] | |будет равен току [pic] в i – й ветви, вызванному ЭДС [pic], численно равной ЭДС | |[pic], находящейся в k – й ветви, | |[pic]. | |Отсюда в частности вытекает указанное выше соотношение [pic]. | |Иными словами, основанный на теореме взаимности принцип взаимности гласит: если ЭДС | |[pic], действуя в некоторой ветви схемы, не содержащей других источников, вызывает в | |другой ветви ток [pic](см. рис. 3,а), то принесенная в эту ветвь ЭДС [pic] вызовет в| |первой ветви такой же ток [pic] (см. рис. 3,б). | |[pic] | |В качестве примера использования данного принципа рассмотрим цепь на рис. 4,а, в | |которой требуется определить ток [pic], вызываемый источником ЭДС [pic]. | |[pic] | |Перенесение источника ЭДС [pic] в диагональ моста, где требуется найти ток, | |трансформирует исходную схему в цепь с последовательно-параллельным соединением на | |рис. 4,б. В этой цепи | |[pic], | |(7) | | | | | |где [pic]. | |В соответствии с принципом взаимности ток [pic] в цепи на рис. 4,а равен току, | |определяемому соотношением (7) | |. | |Линейные соотношения в линейных электрических цепях | |При изменении в линейной электрической цепи ЭДС (тока) одного из источников или | |сопротивления в какой-то ветви токи в любой паре ветвей m и n будут связаны между | |собой соотношением | |[pic], | |(8) | | | |где А и В – некоторые в общем случае комплексные константы. | |Действительно, в соответствии с (1) при изменении ЭДС [pic] в k – й ветви для тока в| |m – й ветви можно записать | |[pic] | |(9) | | | |и для тока в n – й ветви – | |[pic]. | |(10) | | | |Здесь [pic] и [pic] - составляющие токов соответственно в m – й и n – й ветвях, | |обусловленные всеми остальными источниками, кроме [pic]. | |Умножив левую и правую части (10) на [pic], вычтем полученное соотношением из | |уравнения (9). В результате получим | |[pic]. | |(11) | | | |Обозначив в (11) [pic] и [pic], приходим к соотношению (8). | |Отметим, что в соответствии с законом Ома из уравнения (8) вытекает аналогичное | |соотношение для напряжений в линейной цепи. | |В качестве примера найдем аналитическую зависимость между токами [pic] и [pic] в | |схеме с переменным резистором на рис. 5, где [pic]; [pic]; [pic]. | |Коэффициенты А и В можно рассчитать, рассмотрев любые два режима работы цепи, | |соответствующие двум произвольным значениям [pic]. | |Выбрав в качестве этих значений [pic] и [pic], для первого случая ( [pic]) запишем | |[pic]. | |Таким образом, [pic]. | |При [pic] (режим короткого замыкания) | |[pic], | |откуда | |[pic]. | |На основании (8) | |[pic]. | |Таким образом, | |[pic]. | | | |Принцип компенсации | |Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой | |электрической цепи без изменения токов в ее ветвях сопротивление в произвольной ветви| |можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению напряжения на этом | |сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви. | |Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с сопротивлением | |[pic], по которой протекает ток [pic], а всю остальную часть схемы условно обозначим | |некоторым активным двухполюсником А (см. рис. 6,а). | |[pic] | |При включении в ветвь с [pic] двух одинаковых и действующих навстречу друг другу | |источников ЭДС с [pic] (рис. 6,б) режим работы цепи не изменится. Для этой цепи | |[pic]. | |(12) | | | |Равенство (12) позволяет гальванически соединить точки а и c, то есть перейти к цепи | |на рис. 6,в. Таким образом, теорема доказана. | |В заключение следует отметить, что аналогично для упрощения расчетов любую ветвь с | |известным током [pic] можно заменить источником тока [pic]. | | | |Литература | |Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, | |С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. | |Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для | |студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей | |вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. | |Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие | |для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. | |–448 с. | |Контрольные вопросы и задачи | |Для каких цепей применим принцип суперпозиции? | |В каких случаях эффективно применение метода наложения? | |Как определяются входные и взаимные проводимости ветвей? | |Докажите теорему взаимности. | |Какими линейными соотношениями связаны токи и напряжения в ветвях линейной цепи? | |Можно ли распространить принцип компенсации на нелинейную электрическую цепь? | |Определить методом наложения ток в первой ветви цепи на рис. 1,а. | |Ответ: [pic], где [pic]; [pic]. | |В цепи на рис. 2 [pic]. Определить токи в остальных ветвях схемы, воспользовавшись | |линейным соотношением, принципом компенсации и методом наложения. | |Ответ: [pic]; [pic] | | Теория / ТОЭ / Лекция N 13. Метод эквивалентного генератора. | |Метод эквивалентного генератора, основанный на теореме об активном двухполюснике | |(называемой также теоремой Гельмгольца-Тевенена), позволяет достаточно просто | |определить ток в одной (представляющей интерес при анализе) ветви сложной линейной | |схемы, не находя токи в остальных ветвях. Применение данного метода особенно | |эффективно, когда требуется определить значения тока в некоторой ветви для различных | |значений сопротивления в этой ветви в то время, как в остальной схеме сопротивления, | |а также ЭДС и токи источников постоянны. | |Теорема об активном двухполюснике формулируется следующим образом: если активную | |цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с ЭДС, равной | |напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равным входному | |сопротивлению активной цепи, то ток в этой ветви не изменится. | |Ход доказательства теоремы иллюстрируют схемы на рис. 1. | |[pic] | |Пусть в схеме выделена некоторая ветвь с сопротивлением Z, а вся оставшаяся цепь | |обозначена как активный двухполюсник А (рис. 1,а). Разомкнем эту ветвь между точками | |1 и 2 (рис. 1,б). На зажимах этой ветви имеет место напряжение [pic]. Если теперь | |между зажимами 1 и 2 включить источник ЭДС [pic] с направлением, указанным на рис. | |1,в , то, как и в цепи на рис.1,б ток в ней будет равен нулю. Чтобы схему на рис. 1,в| |сделать эквивалентной цепи на рис. 1,а, в рассматриваемую ветвь нужно включить еще | |один источник ЭДС [pic], компенсирующий действие первого (рис. 1,г). Будем теперь | |искать ток [pic] по принципу наложения, т.е. как сумму двух составляющих, одна из | |которых вызывается источниками, входящими в структуру активного двухполюсника, и | |источником ЭДС [pic], расположенным между зажимами 1 и 2 слева, а другая – источником| |ЭДС [pic], расположенным между зажимами 1 и 2 справа. Но первая из этих составляющих | |в соответствии с рис. 1,в равна нулю, а значит, ток [pic] определяется второй | |составляющей, т.е. по схеме на рис. 1,д, в которой активный двухполюсник А заменен | |пассивным двухполюсником П. Таким образом, теорема доказана. | |Указанные в теореме ЭДС и сопротивление можно интерпретировать как соответствующие | |параметры некоторого эквивалентного исходному активному двухполюснику генератора, | |откуда и произошло название этого метода. | |Таким образом, в соответствии с данной теоремой схему на рис. 2,а, где относительно | |ветви, ток в которой требуется определить, выделен активный двухполюсник А со | |структурой любой степени сложности, можно трансформировать в схему на рис. 2,б.| | | |Отсюда ток [pic] находится, как: | |[pic], | |(1) | | | |где [pic] - напряжение на разомкнутых зажимах a-b. | |Уравнение (1) представляет собой аналитическое выражение метода эквивалентного | |генератора. | |Параметры эквивалентного генератора (активного двухполюсника) могут быть определены | |экспериментальным или теоретическим путями. | |В первом случае, в частности на постоянном токе, в режиме холостого хода активного | |двухполюсника замеряют напряжение [pic] на его зажимах с помощью вольтметра, которое | |и равно [pic]. Затем закорачивают зажимы a и b активного двухполюсника с помощью | |амперметра, который показывает ток [pic] (см. рис. 2,б). Тогда на основании | |результатов измерений [pic]. | |В принципе аналогично находятся параметры активного двухполюсника и при | |синусоидальном токе; только в этом случае необходимо определить комплексные значения | |[pic] и [pic]. | |При теоретическом определении параметров эквивалентного генератора их расчет | |осуществляется в два этапа: | |1. Любым из известных методов расчета линейных электрических цепей определяют | |напряжение на зажимах a-b активного двухполюсника при разомкнутой исследуемой ветви. | |2. При разомкнутой исследуемой ветви определяется входное сопротивление активного | |двухполюсника, заменяемого при этом пассивным. Данная замена осуществляется путем | |устранения из структуры активного двухполюсника всех источников энергии, но при | |сохранении на их месте их собственных (внутренних) сопротивлений. В случае идеальных | |источников это соответствует закорачиванию всех источников ЭДС и размыканию всех | |ветвей с источниками тока. | |Сказанное иллюстрируют схемы на рис. 3, где для расчета входного (эквивалентного) | |сопротивления активного двухполюсника на рис. 3,а последний преобразован в пассивный | |двухполюсник со структурой на рис. 3,б. Тогда согласно схеме на рис. 3,б | |[pic] | |[pic]. | |В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа | |определим зависимость показаний амперметра в схеме на рис. 4 при изменении | |сопротивления R переменного резистора в диагонали моста в пределах [pic]. Параметры | |цепи Е=100 В; R1=R4=40 Ом; R2=R3=60 Ом. | |[pic] | |В соответствии с изложенной выше методикой определения параметров активного | |двухполюсника для нахождения значения [pic] перейдем к схеме на рис. 5, где | |напряжение [pic] на разомкнутых зажимах 1 и 2 определяет искомую ЭДС [pic]. В данной | |цепи | |[pic]. | |Для определения входного сопротивления активного двухполюсника трансформируем его в | |схему на рис. 6. | |[pic] | |Со стороны зажимов 1-2 данного пассивного двухполюсника его сопротивление равно: | |[pic]. | |Таким образом, для показания амперметра в схеме на рис. 4 в соответствии с (1) можно | |записать | |[pic]. | |(2) | | | |Задаваясь значениями R в пределах его изменения, на основании (2) получаем кривую на | |рис.7. | |В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа цепи | |при синусоидальном питании определим, при каком значении нагрузочного сопротивления | |[pic] в цепи на рис. 8 в нем будет выделяться максимальная мощность, и чему она будет| |равна. | |Параметры цепи: [pic]; [pic]. | |В соответствии с теоремой об активном двухполюснике обведенная пунктиром на рис. 8 | |часть схемы заменяется эквивалентным генератором с параметрами | |[pic] | |В соответствии с (1) для тока [pic] через [pic] можно записать | |[pic] | |откуда для модуля этого тока имеем | |[pic]. (3) | |Анализ полученного выражения (3) показывает, что ток I, а следовательно, и мощность | |будут максимальны, если [pic]; откуда [pic], причем знак “-” показывает, что нагрузка| |[pic] имеет емкостный характер. | |Таким образом, | |[pic] и [pic]. | |Данные соотношения аналогичны соответствующим выражениям в цепи постоянного тока, для| |которой, как известно, максимальная мощность на нагрузке выделяется в режиме | |согласованной нагрузки, условие которого [pic]. | |Таким образом, искомые значения [pic] и максимальной мощности: [pic]. | | | |Теорема вариаций | |Теорема вариаций применяется в тех случаях, когда требуется рассчитать, насколько | |изменятся токи или напряжения в ветвях схемы, если в одной из ветвей этой схемы | |изменилось сопротивление. | |Выделим на рис. 9,а некоторые ветви с токами [pic] и [pic], а остальную часть схемы | |обозначим активным четырехполюсником А. При этом, полагаем что проводимости [pic] и | |[pic] известны. | |[pic] | |Пусть сопротивление n-й ветви изменилось на [pic]. В результате этого токи в ветвях | |схемы будут соответственно равны [pic] и [pic] (рис. 9,б). На основании принципа | |компенсации заменим [pic] источником с ЭДС [pic]. Тогда в соответствии с принципом | |наложения можно считать, что приращения токов [pic] и [pic] вызваны [pic] в схеме на | |рис. 9,в, в которой активный четырехполюсник А заменен на пассивный П. | |Для этой цепи можно записать | |[pic] | |откуда | |[pic] и [pic]. | |Полученные соотношения позволяют определить изменения токов в m-й и n-й ветвях, | |вызванные изменением сопротивления в n-й ветви. | | | |Литература | |Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, | |С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. | |Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для | |студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей | |вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. | |Контрольные вопросы и задачи | |В каких случаях эффективно применение метода эквивалентного генератора? | |Как можно экспериментально определить параметры эквивалентного генератора? | |Как можно определить параметры активного двухполюсника расчетным путем? | |Как необходимо преобразовать исходную схему активного двухполюсника для расчета его | |входного сопротивления? | |В каких задачах используется теорема вариаций? | |В цепи на рис. 4 источник ЭДС Е замене на источник тока J=10 А. Определить показание | |амперметра, если R=0. | |Ответ: [pic]. | |Для полученного значения [pic] в цепи на рис. 8 методом эквивалентного генератора | |определить ток в ветви с этим сопротивлением, если катушка индуктивности в структуре | |активного двухполюсника заменена на конденсатор с сопротивлением [pic]. | |Ответ: [pic] | | Теория / ТОЭ / Лекция N 14. Пассивные четырехполюсники. | |При анализе электрических цепей в задачах исследования взаимосвязи между переменными | |(токами, напряжениями, мощностями и т.п.) двух каких-то ветвей схемы широко | |используется теория четырехполюсников. Четырехполюсник – это часть схемы произвольной| |конфигурации, имеющая две пары зажимов (отсюда и произошло его название), обычно | |называемые входными и выходными. | |Примерами четырыхполюсника являются трансформатор, усилитель, потенциометр, линия | |электропередачи и другие электротехнические устройства, у которых можно выделить две | |пары полюсов. | |В общем случае четырехполюсники можно разделить на активные, в структуру которых | |входят источники энергии, и пассивные, ветви которых не содержат источников энергии. | |Ниже будут рассмотрены элементы теории пассивных четырехполюсников. | |Для записи уравнений четырехполюсника выделим в произвольной схеме ветвь с | |единственным источником энергии и любую другую ветвь с некоторым сопротивлением | |[pic] (см. рис. 1,а). | |[pic] | |В соответствии с принципом компенсации заменим исходное сопротивление | |[pic] источником с напряжением [pic] (см. рис. 1,б). Тогда на основании метода | |наложения для цепи на рис. 1,б можно записать | |[pic]; | |(1) | | | | | |[pic]. | |(2) | | | |Решая полученные уравнения (1) и (2) относительно напряжения и тока на первичных | |зажимах, получим | |[pic]; | |[pic] | |или | |[pic]; | |(3) | | | | | |[pic], | |(4) | | | |где [pic]; [pic]; [pic]; [pic] - коэффициенты четырехполюсника. | |Учитывая, что в соответствии с принципом взаимности [pic], видно, что коэффициенты | |четырехполюсника связаны между собой соотношением | |[pic]. | |(5) | | | |Уравнения (3) и (4) представляют собой основные уравнения четырехполюсника; их также | |называют уравнениями четырехполюсника в А-форме (см. табл. 1). Вообще говоря, | |существует шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника. Действительно, | |четырехполюсник характеризуется двумя напряжениями [pic] и [pic] и двумя токами | |[pic] и [pic]. Любые две величины можно выразить через остальные. Так как число | |сочетаний из четырех по два равно шести, то и возможно шесть форм записи уравнений | |пассивного четырехполюсника, которые приведены в табл. 1. Положительные направления | |токов для различных форм записи уравнений приведены на рис. 2. Отметим, что выбор той| |или иной формы уравнений определяется областью и типом решаемой задачи. | | | |Таблица 1. Формы записи уравнений пассивного четырехполюсника | |Форма | |Уравнения | |Связь с коэффициентами основных уравнений | | | |А-форма | |[pic]; | |[pic]; | | | | | |Y-форма | |[pic]; | |[pic]; | |[pic]; [pic]; [pic]; [pic]; | | | |Z-форма | |[pic]; | |[pic]; | |[pic]; [pic]; | |[pic]; [pic]; | | | |Н-форма | |[pic]; | |[pic]; | |[pic]; [pic]; | |[pic]; [pic]; | | | |G-форма | |[pic]; | |[pic]; | |[pic]; [pic]; | |[pic]; [pic]; | | | |B-форма | |[pic]; | |[pic]. | |[pic]; [pic]; | |[pic]; [pic]. | | | |Если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой| |четырехполюсник называется симметричным. Как видно из сравнения А- и В- форм в табл. | |1, это выполняется при [pic]. | |Четырехполюсники, не удовлетворяющие данному условию, называются несимметричными. | |При практическом использовании уравнений четырехполюсника для анализа цепей | |необходимо знать значения его коэффициентов. Коэффициенты четырехполюсника могут быть| |определены экспериментальным или расчетным путями. При этом в соответствии с | |соотношением (5) определение любых трех коэффициентов дает возможность определить и | |четвертый. | |Один из наиболее удобных экспериментальных методов определения коэффициентов | |четырехполюсника основан на опытах холостого хода и короткого замыкания при питании | |со стороны вторичных зажимов и опыте холостого хода при питании со стороны первичных | |зажимов. В этом случае при [pic] на основании уравнений (3) и (4) | |[pic]. | |(6) | | | |При [pic] | |[pic] | |(7) | | | |и при [pic] | |[pic]. | |(8) | | | |Решение уравнений (6)-(8) относительно коэффициентов четырехполюсника дает: | |[pic] | |При определении коэффициентов четырехполюсника расчетным путем должны быть известны | |схема соединения и величины сопротивлений четырехполюсника. Как было отмечено ранее, | |пассивный четырехполюсник характеризуется тремя независимыми постоянными | |коэффициентами. Следовательно, пассивный четырехполюсник можно представить в виде | |трехэлементной эквивалентной Т- (рис. 3,а) или П-образной (рис. 3,б) схемы замещения.| | | |Для определения коэффициентов четырехполюсника для схемы на рис. 3,а с использованием| |первого и второго законов Кирхгофа выразим [pic] и [pic] через [pic] и [pic]: | |[pic] | | | |[pic]; | |(9) | | | | | |[pic]. | |(10) | | | |Сопоставление полученных выражений (9) и (10) с соотношениями (3) и (4) дает: | |[pic] | |Данная задача может быть решена и другим путем. При [pic] (холостой ход со стороны | |вторичных зажимов) в соответствии с (3) и (4) | |[pic] и [pic]; | |но из схемы на рис. 3,а | |[pic], а [pic]; | |откуда вытекает: [pic] и [pic]. | |При [pic] (короткое замыкание на вторичных зажимах) | |[pic] и [pic]. | |Из схемы на рис. 3,а | |[pic]; | |[pic]. | |Следовательно, [pic] [pic]. | |Таким образом, получены те же самые результаты, что и в первом случае. | |Коэффициенты четырехполюсника для схемы на рис. 3,б могут быть определены аналогично | |или на основании полученных для цепи на рис. 3,а с использованием рассмотренных ранее| |формул преобразования “ звезда-треугольник”. | |Из вышесказанного можно сделать вывод, что зная коэффициенты четырехполюсника, всегда| |можно найти параметры Т- и П-образных схем его замещения. | |На практике часто возникает потребность в переходе от одной формы записи уравнений | |четырехполюсника к другой. Для решения этой задачи, т.е. чтобы определить | |коэффициенты одной формы записи уравнений через коэффициенты другой, следует выразить| |какие-либо две одинаковые величины в этих формулах через две остальные и сопоставить | |их с учетом положительных направлений токов для каждой из этих форм. Так при переходе| |от А- к Z-форме на основании (4) имеем | |[pic]. | |(11) | | | |Подстановка соотношения (11) в (3) дает | |[pic]. | |(12) | | | |Сопоставляя выражения (11) и (12) с уравнениями четырехполюсника в Z-форме (см. табл.| |1), получим | |[pic]. | |При анализе работы четырехполюсника на нагрузку [pic] удобно использовать понятие | |входного сопротивления с первичной стороны [pic] и коэффициента передачи | |[pic].Учитывая, что [pic] и [pic], для этих параметров можно записать: | |[pic] | |Зная [pic], [pic] и [pic], можно определить остальные переменные на входе и выходе | |четырехполюсника: [pic]; [pic]; [pic]. | | | |Характеристическое сопротивление и коэффициент | |распространения симметричного четырехполюсника | |В электросвязи широко используется режим работы симметричного четырехполюсника, при | |котором его входное сопротивление равно нагрузочному, т.е. | |[pic]. | |Это сопротивление обозначают как [pic] и называют характеристическим сопротивлением | |симметричного четырехполюсника, а режим работы четырехполюсника, для которого | |справедливо | |[pic], | |называется режимом согласованной нагрузки. | |В указанном режиме для симметричного четырехполюсника [pic] на основании (3) и (4) | |можно записать | |[pic]; | |(13) | | | | | |[pic]. | |(14) | | | |Разделив соотношение (13) на (14), получаем уравнение | |[pic], | |решением которого является | |[pic]. | |(15) | | | |С учетом (15) уравнения (13) и (14) приобретают вид | |[pic]; | |[pic]. | |Таким образом, | |[pic], | |где [pic] - коэффициент распространения; [pic] - коэффициент затухания (измеряется в | |неперах); [pic] - коэффициент фазы (измеряется в радианах). | |Одному неперу соответствует затухание по напряжению или току в е=2,718… раз, а по | |мощности, поскольку для рассматриваемого случая [pic] в е2 раз. | |Запишем уравнение симметричного четырехполюсника с использованием коэффициента | |распространения. | |По определению | |[pic]. | |(16) | | | | | |Тогда | |[pic]. | |(17) | | | |Решая (17) и (18) относительно [pic] и [pic], получим | |[pic] и [pic]. | |Учитывая, что | | [pic] | |и | | [pic], | |получаем уравнения четырехполюсника, записанные через гиперболические функции: | |[pic] | | | |Литература | |Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, | |С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. | |Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для | |студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей | |вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. | |Каплянский А. Е. и др. Электрические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие | |для электротехнических и энергетических специальностей вузов. -М.: Высш. шк., 1972. | |-448с. | |Контрольные вопросы и задачи | |Для решения каких задач применяется теория четырехполюсников? | |Сколько коэффициентов четырехполюсника являются независимыми? | |Какой четырехполюсник называется симметричным? | |Как можно определить коэффициенты четырехполюсника? | |Как определяются коэффициенты одной формы записи уравнений четырехполюсника через | |коэффициенты другой? | |Что определяет коэффициент распространения? | |Определить связь коэффициентов Y-, H- и G-форм с коэффициентами А-формы. | |Определить коэффициенты А, В, С и D для П-образной схемы замещения четырехполюсника | |на рис. 3,б. | |Ответ: [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. | |Коэффициенты уравнений пассивного четырехполюсника [pic]; [pic]; [pic] | |Определить параметры Т-образной схемы замещения. | |Ответ: [pic]; [pic]; [pic]. | |Параметры Т-образной схемы замещения четырехполюсника: [pic]; [pic]. | |Определить, при каком сопротивлении нагрузки входное сопротивление четырехполюсника | |будет равно нагрузочному сопротивлению. | |Ответ: [pic] | | Теория / ТОЭ / Лекция N 15. Электрические фильтры. | |Электрическим фильтром называется четырехполюсник, устанавливаемый между источником | |питания и нагрузкой и служащий для беспрепятственного (с малым затуханием) | |пропускания токов одних частот и задержки (или пропускания с большим затуханием) | |токов других частот. | |Диапазон частот, пропускаемых фильтром без затухания (с малым затуханием), называется| |полосой пропускания или полосой прозрачности; диапазон частот, пропускаемых с большим| |затуханием, называется полосой затухания или полосой задерживания. Качество фильтра | |считается тем выше, чем ярче выражены его фильтрующие свойства, т.е. чем сильнее | |возрастает затухание в полосе задерживания. | |В качестве пассивных фильтров обычно применяются четырехполюсники на основе катушек | |индуктивности и конденсаторов. Возможно также применение пассивных RC-фильтров, | |используемых при больших сопротивлениях нагрузки. | |Фильтры применяются как в радиотехнике и технике связи, где имеют место токи | |достаточно высоких частот, так и в силовой электронике и электротехнике. | |Для упрощения анализа будем считать, что фильтры составлены из идеальных катушек | |индуктивности и конденсаторов, т.е. элементов соответственно с нулевыми активными | |сопротивлением и проводимостью. Это допущение достаточно корректно при высоких | |частотах, когда индуктивные сопротивления катушек много больше их активных | |сопротивлений ( [pic]), а емкостные проводимости конденсаторов много больше их | |активных проводимостей ( [pic]). | |Фильтрующие свойства четырехполюсников обусловлены возникающими в них резонансными | |режимами – резонансами токов и напряжений. Фильтры обычно собираются по симметричной | |Т- или П-образной схеме, т.е. при [pic] или [pic] (см. лекцию №14). В этой связи при | |изучении фильтров будем использовать введенные в предыдущей лекции понятия | |коэффициентов затухания и фазы. | |Классификация фильтров в зависимости от диапазона пропускаемых частот приведена в | |табл. 1. | | | |Таблица 1. Классификация фильтров | |Название фильтра | |Диапазон пропускаемых частот | | | |Низкочастотный фильтр (фильтр нижних частот) | |[pic] | | | |Высокочастотный фильтр (фильтр верхних частот) | |[pic] | | | |Полосовой фильтр (полосно-пропускающий фильтр) | |[pic] | | | |Режекторный фильтр (полосно-задерживающий фильтр) | |[pic] | |и | |[pic] , | | | |где [pic] | | | |В соответствии с материалом, изложенным в предыдущей лекции, если фильтр имеет | |нагрузку, сопротивление которой при всех частотах равно характеристическому, то | |напряжения и соответственно токи на его входе и выходе связаны соотношением | |. [pic] . | |(1) | | | |В идеальном случае в полосе пропускания (прозрачности) [pic], т.е. в соответствии с | |(1) [pic], [pic] и [pic]. Следовательно, справедливо и равенство [pic], которое | |указывает на отсутствие потерь в идеальном фильтре, а значит, идеальный фильтр должен| |быть реализован на основе идеальных катушек индуктивности и конденсаторов. Вне | |области пропускания (в полосе затухания) в идеальном случае [pic], т.е. [pic] и | |[pic]. | |Рассмотрим схему простейшего низкочастотного фильтра, представленную на рис. 1,а. | |[pic] | |Связь коэффициентов четырехполюсника с параметрами элементов Т-образной схемы | |замещения определяется соотношениями (см. лекцию № 14) | |[pic] | |или конкретно для фильтра на рис. 1,а | |[pic]; | |(2) | | | | | |[pic]; | |(3) | | | | | |[pic]. | |(4) | | | | | |Из уравнений четырехполюсника, записанных с использованием гиперболических функций | |(см. лекцию № 14), вытекает, что | |[pic]. | |Однако в соответствии с (2) [pic] - вещественная переменная, а следовательно, | |[pic]. | |(5) | | | |Поскольку в полосе пропускания частот коэффициент затухания [pic], то на основании | |(5) | |[pic]. | |Так как пределы изменения [pic]: [pic], - то границы полосы пропускания определяются | |неравенством | |[pic], | |которому удовлетворяют частоты, лежащие в диапазоне | |[pic]. | |(6) | | | |Для характеристического сопротивления фильтра на основании (3) и (4) имеем | |[pic]. | |(7) | | | |Анализ соотношения (7) показывает, что с ростом частоты w в пределах, определяемых | |неравенством (6), характеристическое сопротивление фильтра уменьшается до нуля, | |оставаясь активным. Поскольку, при нагрузке фильтра сопротивлением, равным | |характеристическому, его входное сопротивление также будет равно [pic], то, | |вследствие вещественности [pic], можно сделать заключение, что фильтр работает в | |режиме резонанса, что было отмечено ранее. При частотах, больших [pic], как это | |следует из (7), характеристическое сопротивление приобретает индуктивный характер. | |На рис. 2 приведены качественные зависимости [pic] и [pic]. | |Следует отметить, что вне полосы пропускания [pic]. Действительно, поскольку | |коэффициент А – вещественный, то всегда должно удовлетворяться равенство | | | | | |[pic]. | |(8) | | | |Так как вне полосы прозрачности [pic], то соотношение (8) может выполняться только | |при [pic]. | |В полосе задерживания коэффициент затухания [pic] определяется из уравнения (5) при | |[pic]. Существенным при этом является факт постепенного нарастания [pic], т.е. в | |полосе затухания фильтр не является идеальным. Аналогичный вывод о неидеальности | |реального фильтра можно сделать и для полосы прозрачности, поскольку обеспечить | |практически согласованный режим работы фильтра во всей полосе прозрачности | |невозможно, а следовательно, в полосе пропускания коэффициент затухания [pic] будет | |отличен от нуля. | |Другим вариантом простейшего низкочастотного фильтра может служить четырехполюсник по| |схеме на рис. 1,б. | |Схема простейшего высокочастотного фильтра приведена на рис. 3,а. | |[pic] | |Для данного фильтра коэффициенты четырехполюсника определяются выражениями | |[pic]; | |(9) | | | | | |[pic]; | |(10) | | | | | |[pic]. | |(11) | | | |Как и для рассмотренного выше случая, А – вещественная переменная. Поэтому на | |основании (9) | |[pic]. | |Данному неравенству удовлетворяет диапазон изменения частот | |[pic]. | |(12) | | | |Характеристическое сопротивление фильтра | |[pic], | |(13) | | | | | |изменяясь в пределах от нуля до [pic] с ростом частоты, остается вещественным. Это | |соответствует, как уже отмечалось, работе фильтра, нагруженного характеристическим | |сопротивлением, в резонансном режиме. Поскольку такое согласование фильтра с | |нагрузкой во всей полосе пропускания практически невозможно, реально фильтр работает | |с [pic] в ограниченном диапазоне частот. | |Вне области пропускания частот [pic] определяется из уравнения | |[pic] | |(14) | | | |при [pic]. Плавное изменение коэффициента затухания в соответствии с (14) показывает,| |что в полосе задерживания фильтр не является идеальным. | |Качественный вид зависимостей [pic] и [pic] для низкочастотного фильтра представлен | |на рис. 4. | |Следует отметить, что другим примером простейшего высокочастотного фильтра может | |служить П-образный четырехполюсник на рис. 3,б. | |Полосовой фильтр формально получается путем последовательного соединения | |низкочастотного фильтра с полосой пропускания [pic] и высокочастотного с полосой | |пропускания [pic], причем [pic]. Схема простейшего полосового фильтра | |[pic] | |приведена на рис. 5,а, а на рис. 5,б представлены качественные зависимости [pic] для | |него. | |У режекторного фильтра полоса прозрачности разделена на две части полосой затухания. | |Схема простейшего режекторного фильтра и качественные зависимости [pic] для него | |приведены на рис.6. | |[pic] | |В заключение необходимо отметить, что для улучшения характеристик фильтров всех типов| |их целесообразно выполнять в виде цепной схемы, представляющей собой каскадно | |включенные четырехполюсники. При обеспечении согласованного режима работы всех n | |звеньев схемы коэффициент затухания [pic] такого фильтра возрастает в соответствии с | |выражением [pic], что приближает фильтр к идеальному. | | | |Литература | |Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, | |С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. | |Каплянский А. Е. и др. Электрические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие | |для электротехнических и энергетических специальностей вузов. -М.: Высш. шк., 1972. | |-448с. | |Контрольные вопросы и задачи | |Для чего служат фильтры? | |Что такое полосы прозрачности и затухания? | |Как классифицируются фильтры в зависимости от диапазона пропускаемых частот? | |В каком режиме работают фильтры в полосе пропускания частот? | |Почему рассмотренные фильтры нельзя считать идеальными? | |Как можно улучшить характеристики фильтра? | |Определить границы полосы прозрачности фильтров на рис. 1,а и 3,а, если L=10 | |мГн, а С=10 мкФ. | |Ответ: [pic], [pic] |