Материалы сайта
Это интересно
Физика
Лекция 15 12. Тепловое излучение 12.1. Основные понятия. Закон Кирхгофа До сих пор мы в основном занимались волнами как таковыми, необязательно конкретизируя природу волны. Соответственно, в определенном смысле, в разговорах часто присутствовало больше геометрии, чем физики. Хотя, конечно, физика без геометрии - это не физика. Но вот теперь на первый план выходят очень непростые существенно физические проблемы и закономерности. И, в частности, разговор о тепловом излучении требует введения некоторых специальных понятий. Говоря о тепловом излучении, мы будем говорить о равновесном состоянии, о равновесии между нагретыми телами - эти тела излучают тепловую энергию и поглощают ее. Иначе говоря, имеет место равновесие между телами и электромагнитным полем, в которые эти тела оказываются “погруженными”. Для описания этих процессов нам понадобятся некоторые новые понятия. Прежде всего это энергетическая светимость R. В соответствии с определением, с элементарной поверхности (s за время (t излучается энергия (W = R((s((t. Эта энергия относится ко всему частотному диапазону и излучается в пределах телесного угла ((. Следующее понятие - испускательная способность [pic]. Она входит в выражение [pic] и определяет энергетическую светимость в диапазоне d(. Однако, испускательная способность зависит также и от температуры. Поэтому обычно пишут [pic]. Тогда энергетическая светимость при некоторой температуре [pic]. Испускательную способность иногда удобно относить не к некоторому значению частоты, а к значению длины волны (. Тогда пишут [pic]. Поскольку [pic] и по смыслу [pic], мы имеем: [pic]; [pic]; [pic]. Последнее выражение связывает величины r( и r(, и мы при необходимости можем переходить от одной к другой. При падении лучистой энергии на поверхность часть ее, вообще говоря, поглощается. Поглощательная способность зависит от частоты и от температуры. Поэтому выражение для нее записывается в виде: [pic]. В знаменателе стоит поток падающей лучистой (электромагнитной) энергии, относящейся к интервалу d(, в числителе - поглощенная часть потока. Если при любых частотах [pic], тело называется абсолютно черным. При частичном поглощении падающего потока энергии говорят о сером теле. При этом подразумевается, что поглощательная способность не зависит от частоты: [pic]. Естественно, поглощательная способность не может быть больше единицы. Таковы основные понятия, необходимые нам для разговора о тепловом излучении. Мы уже говорили, что речь идет о тепловом равновесии между телом (его излучением) и окружающем его пространстве, заполненном лучистой энергии. Что будет, если имеется несколько тел с разными свойствами поверхностей? Оказывается, что отношение испускательных и поглощательных способностей обязаны быть равны: [pic]. Действительно, в противном случае у них были бы различные температуры и мы с легкостью получили бы вечный двигатель. Это отношение представляет собой некоторую функцию частоты и температуры (или же длины волны и температуры): [pic]. Это соотношение между функциями [pic] следует из таких соображений. Для абсолютно черного тела [pic] и, стало быть, [pic]. Абсолютно черное тело является некоторой идеализацией - таких тел в природе просто не существует. Но к свойствам абсолютно черного тела могут быть сколь угодно близки свойства некоторого специального устройства. Оно представляет собой некую полость с, вообще говоря, зачерненной шероховатой внутренней поверхностью и небольшим отверстием. Проникшая через отверстие, электромагнитная волна любой частоты будет рассеиваться на внутренней поверхности полости, частично поглощаться и может выйти из нее только после многочисленных отражений. Доля вышедшей после многочисленных частичных поглощений при “соприкосновении” с внутренней поверхностью полости явно весьма незначительна. Хотя поглощательная способность внутренней поверхности полости и не равна единице, при каждом отражении происходит поглощение части энергии, при многочисленных отражениях будет поглощена практически вся энергия. Таким образом, входное отверстие такой полости, даже не являясь поверхностью какого-нибудь тела, обладает свойствами поверхности абсолютно черного тела. И для нас, конечно, важно не столько то, что (почти) вся падающая на эту “поверхность” энергия будет поглощена, сколько то, что ее излучение будет практически совпадать с излучением абсолютно черного тела. В соответствии с законом Кирхгофа. 12.2. Плотность лучистой энергии (V ( d( R (R Рассмотрим детальнее равновесие элемента поверхности абсолютно черного тела и лучистой энергии, в которую оно “погружено”. Выделим элемент поверхности (s и некоторый элементарный объем (V в окружающем его пространстве. Введя плотность энергии [pic], мы можем записать выражение для части заключенной в выделенном объеме энергии, которая протечет через выделенную площадку: [pic]. Это выражение написано из таких соображений. Запасенная в выделенном объеме энергия будет распространяться в пределах телесного угла 4(. Значит, через выделенную площадку пройдет часть этой энергии, равная отношению телесного угла [pic], под которым из выделенного объема видна площадка, к полному телесному углу. (V ( d( R (R Далее, в силу симметрии, элементарный объем можно выбрать в виде “бублика”, объем которого [pic][pic]. Таким образом, чтобы подсчитать энергию, которая пройдет через выделенную площадку за время [pic], нам надо взять интеграл по d( : [pic] [pic]. В условиях равновесия за то же время площадкой (s будет испущена такая же по величине энергия. Поэтому, [pic]; [pic]. Мы нашли связь между испускательной способностью абсолютно черного тела и плотностью электромагнитной энергии в условиях равновесия. 12.3. Лучистая энергия Мы нашли связь между функциями испускательной способности и плотности электромагнитной энергии. Но представляется совершенно неясным, каким способом можно было бы найти вид этих функций. Здесь нужны какие-то дополнительные гипотезы о способе существования, что ли, лучистой, волновой энергии. Ясно, что такое описание распределения энергии по частотам (это функции частоты!) при определенной температуре должно быть вероятностным, но в основе должно предположить существование какой-то функции распределения, подобно тому, как мы в свое время нашли вид функции распределения Максвелла для молекул (атомов). [pic]; Z Y d b 0 a X Такой гипотезой явилось предположение, что лучистая энергия могла бы существовать в виде стоячих волн. Стоячими волнами мы ранее немного занимались, но теперь нам надо исследовать этот вопрос детальнее. Пусть у нас имеется полость в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами a,b,c. Условием существования стоячей волны вида [pic] является выполнение условий [pic]. Речь, разумеется, идет о плоской волне, и только при выполнении этих условий любой луч волны окажется замкнутым. Причем в любую “стартовую” точку волна будет возвращаться с неизменной фазой. Теперь можно говорить о некотором распределении стоячих волн по оси частот - они могут принимать лишь некоторые дискретные значения. Перейдем в декартово пространство, в котором по осям отложены значения составляющих векторов [pic]. Концы векторов, удовлетворяющих условию стоячей волны, будут иметь координаты [pic]. Это позволяет нам говорить о плотности таких точек в k - пространстве: поскольку [pic], элементарный объем на одну точку (конец вектора [pic]) [pic]. Равная обратной величине элементарного объема, плотность точек Nk в k - пространстве оказывается величиной постоянной: [pic]. Собственно, нас интересуют количества векторов в модулем от k до k+(k. Чтобы подсчитать это количество, выберем элементарный объем в k - пространстве в виде тонкого шарового слоя радиуса k и толщиной (k и умножим его на плотность точек: [pic]. Теперь нам надо проделать еще такие операции. Во-первых, перейдем от волновых векторов k к частотам (: [pic]. Затем нам надо умножить полученное число на 2, поскольку имеется два взаимно перпендикулярных направления колебаний - это будут разные стоячие волны. Тогда на единицу объема мы получаем такое количество волн с частотой (: [pic]. Y kX<0 kX>0 kY>0 X kY<0 Теперь попробуем понять, что мы, собственно, получили. Это выражение дает нам число волн с частотой ( в единице объема. Но это еще не количество стоячих волн. При каждом отражении волна изменяет направление распространения, но это остается та же волна с частотой (. При нашем же подсчете они считались различными волнами - с определенным модулем волнового числа k и независимо от направления вектора [pic]. Поэтому полученное количество волн нам надо разделить на 8 и вот почему. При каждом отражении изменяется знак одной из проекций вектора [pic]. Как видно из рисунка, изменение знаков проекций kX и kY дает четыре возможные направления вектора [pic]. Но остается еще возможность изменения знака kZ - итого получается 8 возможных направлений распространения (одной и той же) волны с частотой (. Таким образом, переходя к дифференциалам, мы получаем нужное выражение: [pic]. Эти стоячие волны заманчиво трактовать как колебательные степени свободы для лучистой энергии. Тогда на каждую стоячую волну пришлась бы порция энергии kT. Но здесь нас ждет большая неприятность: количество стоячих волн (вплоть до ((() неограничено, плотность энергии оказывается бесконечной, что, конечно, никак не может отвечать реальности. Тем не менее не стоит приходить в отчаяние. Нам еще придется сделать некоторые уточнения, связанные с более глубоким пониманием физики. Тогда мы и получим разумный результат. 12.4. Формула Планка Изучение теплового равновесного излучения как и других явлений привело физиков к идее квантования. Каждой колебательной степени свободы пришлось приписать энергию в несколько энергетических квантов - порций энергии величиной ((. Количество стоячих волн с энергией [pic] определяется распределением Больцмана: [pic]. С увеличением частоты количество волн с большой энергией уменьшается и тем самым снимается проблема бесконечной плотности энергии. Подсчитаем среднюю энергию стоячей волны с частотой (: [pic] [pic]. Мы ввели обозначение [pic]. Выражение под знаком логарифма представляет собой сумму членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем [pic]. Поэтому средняя энергия стоячей волны [pic] [pic]. Умножив это значение на количество волн в интервале d(, получим энергию в этом интервале: [pic], мы получим для плотности лучистой энергии выражение [pic], которое носит название формулы Планка.