Материалы сайта
Это интересно
Динамическое представление данных
Р Е Ф Е Р А Т на тему : “ Динамическое представление сигналов “ Слушателя 727 группы Зазимко С.А. Динамическое представление сигналов. Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в “прошлом” и “будущем”. ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ. Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем. Реальный сигнал представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса. Широкое применение нашли два способа динамического представления. Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени ( (рис. 1.1). Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени (. При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее (рис. 1.2). [pic] рис 1.1 рис 1.2 Рассмотрим свойства элементарного сигнала, используемого для динамического представления по первому способу. ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ . Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой : ( 0, t < -(, u(t)( ( 0.5(t/(+1), -( ( t ( (, (1) ( 1, t > (. Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из “нулевого” в “единичное” состояние. Переход совершается по линейному закону за время 2(. Если параметр ( устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет происходить мгновенно. Эта математическая модель предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда : ((((( ((((((((( t < (( ((t((((((((((((((( t ( (( (2) ((((((((( t ( (( В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова : ((((( ((((((((( t < t0( ((t - t0((((((((((((((( t ( t0( (3) ((((((((( t ( t0( ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ. Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0 при t<0. Пусть {(,2(,3(,...} - последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений сигнала. Если S0=S(0) - начальное значение, то текущее значение сигнала при любом t приближенно равно сумме ступенчатых функций : ( s(t)(s0((t)+(s1-s0)((t-()+...=s0((t)+((sk-sk-1)((tk(). k=1 . Если теперь шаг ( устремить к нулю. то дискретную переменную k( можно заменить непрерывной переменной (. При этом малые приращения значения сигнала превращаются в дифференциалы ds = (ds/d() d( , и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда ( ( ds S(t)=s0 ((t)+ ( ((t-() d( (4) ( d( 0 Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ. Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом : 1 ( ( ( ( u(t;() = ----- ( ( (t + ---- ) - ( (t - ---- ) ( (5) ( ( 2 2 ( [pic] При любом выборе параметра ( площадь этого импульса равна единице : ( П = ( u dt = 1 - ( Например, если u - напряжение, то П = 1 В*с. Пусть теперь величина Е стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при ( ( 0 носит название дельта-функции , или функции Дирака : ((t) = lim u (t;() ((0 Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . Если Sk - значение сигнала на k - ом отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как : (k(t) = Sk [ ((t - tk) - ((t - tk - () ] (6) В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых : ( S(t) = ( ( (t) (7) k= - ( k В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для t : tk < t < t k+1 Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7) предварительно разделив и умножив на величину шага (, то ( 1 S(t) = ( Sk --- [ ((t - tk) - ((t - tk - () ] ( k=- ( ( Переходя к пределу при ( ( 0 , необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной (, дифференциал которой d( ,будет отвечать величине ( . Поскольку 1 lim [ ((t - tk) - ((t - tk - () ] --- ((( ( получим искомую формулу динамического представления сигнала ( S(t) = ( s (() ((t - () d( - ( Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен ( - импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта- функции.[1] [pic] Обобщенные функции как математические модели сигналов. В классической математике полагают, что функция S(t) должна принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная функция ((t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие обобщенной функции. В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции ((t) может служить, например, значение интеграла ( ( ((t) ((t) dt (8) - ( при известной функции ((t) , которую называют пробной функцией. Каждой функции ((t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый функционал на множестве пробных функций ((t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть ((, ((((((((2) = a((,(() + (((,(2). Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций ((t) задана обобщенная функция ((t) [2]. Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм. Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать. И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточными. ----------------------- [1] Отсюда вытекает структурная схема систем, осуществляющей измерение мгновенных значений аналогового сигнала S(t). Система состоит из двух звеньев : перемножителя и интегратора. [2] Обобщенные функции иногда называют также распределениями.