Материалы сайта
Это интересно
Комплексное число в школе
Приложение 2 Теоретические основы курса «Комплексные числа» § 1 Развитие понятия числа, комплексные числа, алгебраическая форма, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация комплексного числа, их суммы и разности. При изучении математики мы уже неоднократно встречались с обобщением понятия числа. До сих пор мы рассматривали лишь действительные числа. Если введение действительных чисел позволяет выражать результаты любых измерений, то с задачей решения уравнений дело обстоит иначе. Например, уравнения [pic]х2 + 1=0 и х2 +4х +5=0 не имеют решения во множестве действительных чисел, хотя коэффициенты этих уравнений – целые числа. Поэтому возникает необходимость в дальнейшем расширении понятия числа. Таким обобщением множества действительных чисел и является множество С комплексных чисел. Комплексные числа часто называют мнимыми. Это название не вполне удачно, т.к. может создать представление о комплексных числах как о чём-то нереальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные числа стали употребляться ещё в XVI в., они долго продолжали казаться даже выдающимся математикам чем-то реально не существующим, мнимыми в буквальном смысле этого слова. Одному из создателей дифференциального и интегрального исчисления, немецкому математику Г.Лейбницу (1646-1716) принадлежат, например, такие слова: „Комплексное число – это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием”. Сейчас от всей этой мистики не осталось ничего, кроме, пожалуй, названия «мнимые числа». Уже во времена К.Гаусса (1777-1855) было дано геометрическое истолкование комплексных чисел как точек плоскости. Трудами выдающихся математиков XIX века О.Коши, Г.Римана и К.Вейерштрасса на базе комплексных чисел была построена одна из самых красивых математических дисциплин – теория функций комплексной переменной. Повторить с учащимися известные им сведения о числовых множествах: а) натуральных чисел N={1,2,3,…,n,…}; б) целых Z={…,-2,-1,0,1,2,…}; в) рациональных Q={[pic],n [pic] Z, n [pic] N}; г) действительных чисел R. С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат любого измерения, а с помощью произвольных действительных чисел – изменение любой величины. Арифметические операции над действительными числами снова дают действительные числа. Операция же извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных – из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя. Ряд вопросов, возникших при решении уравнений третьей и четвертой степеней, привел математиков к необходимости расширить множество действительных чисел, присоединив к ним новое число i, такое, что i2=-1.Поскольку действительных чисел с таким свойством не существует, новое число назвали “мнимой единицей” – она не выражала ни результатов измерения величин, ни изменений этих величин. Но включение числа i потребовало дальнейшего расширения множества чисел – пришлось ввести произведение этого числа на все действительные числа, т.е. числа вида bi, где b[pic]R, а также суммы действительных чисел и таких произведений, т.е. числа вида a+bi, где a,b[pic]R. Получившиеся при этом числа были названы комплексными, т.к. они содержали как действительную часть a, так и чисто мнимую часть bi. Опр: комплексными числами называются числа вида a+bi (a и b - действительные числа, i2=-1). Если z=а+bi - комплексное число, то а называют его действительной частью, а b-мнимой частью. Приняты обозначения a=Re z, b=Jm z (от французских слов re(ele - действительный и imaginaire - мнимый). Числа a+bi, для которых b(0, называют мнимыми числами, а числа вида bi, b(0,- чисто мнимыми числами. Множество комплексных чисел обозначается С. Два комплексных числа z1=a+bi и z2=с+di считаются равными друг другу в том и только в том случае, если а=с и b=d. В частности, число a+bi будет считать равными нулю, если a=0 и b=0. Запись z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа. Действия над комплексными числами: 1. Сложение: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i Например , (2+3i)+(5-7i)=(2+5)+(3-7)i=7-4i. 2. Умножение: (a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i , причем нужно помнить, что i2 =-1. Эту формулу можно получить, умножая (a+bi) на (c+di) по правилам действий над многочленами. Например, (1+2i)(3-i) =3*1-1*i+6i-2i2 =3+2-i+6i=5+5i. Рассмотрим степени числа i : i1 =i ; i2 =-1; i3 =i2*i =-1*i =-i; i4 =i2*i2 =(-1)(-1) =1; i5=i3*i2=- i(-1)=i; i6= =i5*i=i*i=-1=i2; … Вообщее, i4n+r =(i4)n*ir =(1)n *ir =ir. Получаем, i4m=1; i4m+1=i; i4m+2=-1; i4m+3=-i. Например, i218=i4*54+2=i2=-1. 3. Вычитание: (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i Например, (5+4i) - (2-3i) = (5-2) + (4+3)i = 3+7i. Опр: Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части. Если z=a+bi, то сопряженное число имеет вид z=a-bi. Заметим, что z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a; z*z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2 . Следовательно, сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами. 4. Деление: на практике при делении комплексных чисел удобно домножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю: a+bi = (a+bi)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i = ac+bd + bc-ad i c+di (c-di)(c-di) c2 + d2 c2+d2 c2+d2 Например, 10+15i = (10+15i)(1-2i) _ 10-20i +15i +30 = 40-5i = 8-i 1+2i (1+2i)(1-2i) 1 + 4 5 Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Как известно, действительные числа можно изображать точками на координатной прямой. А комплексное число естественно выражать точкой на координатной плоскости. Каждому комплексному числу a+bi поставим в соответствии точку M(a;b) координатной плоскости, т.е. точку, абсцисса которой равна действительной части комплексного числа, а ордината - мнимой части. Каждой точке M(a; b) координатной плоскости поставим в соответствие комплексное число a+bi (рис.1). [pic] Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Сама координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Действительным числам соответствуют точки оси абсцисс, которая называется действительной осью, а чисто мнимым числам - точки оси ординат, которая называется мнимой осью. Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа a+bi как радиус-вектора ОМ (см. рис.1), т.е. вектора, исходящего из начала координат О (о,о) и идущего в точку М (а;b). Разумеется, вместо радиус- вектора ОМ можно взять любой равный ему вектор. Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно тем, что при этом получают простое геометрическое истолкование операций над ними. При сложении чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i складываются их действительные и мнимые части. При сложении соответствующих им векторов ОМ1 и ОМ2 складываются их координаты. Иными словами, если числу z1 соответствует вектор ОМ1, а числу z1-вектор ОМ2, то числу z1+z2 соответствует вектор ОМ1+ОМ2, а числу z1-z2 - вектор ОМ1- ОМ2. Перейдем к рассмотрению понятия модуля комплексного числа. Опр: Модулем комплексного числа называется длина вектора соответствующего этому числу. Для модуля числа z используется обозначение /Z/ или r. По теореме Пифагора (см. рис.1) для модуля комплексного числа z=a+bi легко получается следующая важная формула: /Z/=(a2+b2, выражающая модуль числа через его действительную и мнимую части. Отмети, что /z/ = /-z/ = /z/, z*z = /z/2 = /z/2. Упражнения: 1. (2(3 - 4i(2) - ((27 - i(32) + (2 + 2i (3 (3 ; 2. (m - n i) + ( n - m i - (( 1 - 1 i) - 1 - 1 i)) ; n m m n n m m n 3. 2i (1 + (3 i) ( -1 + (3 i ); 2 2 2 2 4. Найдите комплексные числа: а) z =i + 6i+1 б) z = i13+ i14 + i15 +i16 ; в) z = 3+1 : 2 1+7i 3-i 5(1-i) г) z = (1+2i)3 - (1-i)3 ; д) z = (2+i)5 е) z = 5+12i + (1+2i)2 (3+2i)3- (2+i)2 8-6i 2+i ж) z = (-0,5 + i (3) 3 2 5. Изобразить геометрически комплексные числа: а) 3+0i; б) 0-5i; в) -3+2i; г) 1+i. 6. Найдите действительную часть комплексного числа: z= (1+2i) + i19 ; мнимую : z= (2-i)3 (2-11i). 7. Найти модуль к.ч. z= -2+ i*5, число, сопряженное данному, изобразить их геометрически. 7. Выполнить сложение алгебраически и дать геометрическую интерпретацию: z= z1 +z2 +z3, где z1 = 3-2i; z2=-3+4i; z3 = 2- i. 8. Найти два действительных числа Х и У, удовлет их равенствам: а) 2i + iу -2 = 3i - 3 =у х х б) (1+i)x + (1-i)у = 3-i; в) (2x-3уi)(2x+3уi) +xi = 97+2i. §2. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Решение задач. Провести комбинированный опрос. Фронтальный опрос провести по вопросам: 1. Обозначение числовых множеств и их соотношения. 2. Почему появилась необходимость введения комплексных чисел? 3. Определение комплексных чисел, частные случаи, основные соглашения. 4. Определения сопряженных и противоположных комплексных чисел, модуля комплексного числа. 5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, сопряженных и противоположных комплексных чисел. 6. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме (определения и свойства). 7. Действия над комплексными числами, геометрическая интерпретация их суммы и разности. 8. Действия над сопряженными и противоположными комплексными числами (их сумму и разность показать геометрически). 9. Можно ли сравнивать комплексные числа? 10. Какие закономерности имеются у степени мнимой единицы. Индивидуальный опрос полезно провести по карточкам. Примерное содержание одного варианта: 1. Вычислить: а) (3+5i) + (2+i) = . . . . .; б) (3+5i) - (4-i) = . . . .; 2. Возвести в степень: а) i123 = . . . ; б) (i-1)2 = . . . . 3. Вычислить: ((3 + i(2) ((3 - i(2) = . . . . 4. Построить слагаемые и сумму комплексных чисел на комплексной плоскости: z1=1-5i; z2=2+3i. 5. Построить уменьшаемое, вычитаемое и разность комплексных чисел на комплексной плоскости: z1=1-i; z2=3i. Упражнения: 1. Выполнить действия: а) [2i (3-4i)]2 =; б) a-bi - i b-ai = ; b+ai a+bi в) i100 + i98 +i63 =; 2. Н основании равенства комплексных чисел, найти действительные числа Х и У, если а) 2+5i x - 3уi = 14i + 3x -5y; б) x2 -7x +9yx = y2i +20i -12. 2. При каких действительных значениях Х и У комплексного числа а) 5 + ixy и x + y +4i; б) 9y2 - 4 - 10x и 8y2 + 20i7 Будут сопряженными? 4. Решите уравнения: а) (i-z) (1+2i) + (2-iz) (3-4i) = 1+7i; б) z2 - (5+2i) z + 5 + 5i =0; в) z2 + z =0; г) (1-i) z - 3iz = 2-i; д) z*z + 2z =3+2i; е) z*z + 3(z-z) - 4+3i. 5. Решите уравнения: а) /z/ = 2i (z+1); б) /z/ = i (2z+i); в) /z/ - iz = i- 2i; г) z2 + 3/z/ =0; д) z2 + /z/2 =0. 8. Какое множество точек комплексной плоскости задается условием: а) /z/ <1; б) /z/ =2; в) Rez > 1; г) Jmz < -2; д) /z+i/ =2; е) /z-2/ <3; ж) /z-4 +i/ (5. 7. Точка А соответствует комплексному числу z = 3+ i4. Какое комплексное число соответствует точке симметричной точке А, относительно: а)оси Ох; б) оси Оу; в) начала координат? 8. На комплексной плоскости даны точки z1, z2 , z3 являющиеся вершинами некоторого треугольника. Найдите все комплексные числа, соответствующие точками, дополняющим данный треугольник до параллелограмма. 9. Изобразить: а) /z/ (3 б)/z/( 1 в) /z-1/( 2 /z-3i/(3 /z-2i/(2 -1< Rez<2 г) 1( /z-1/( 2 д) /z/ (3 0( Jmz((3 1< Jmz <2. § 3 Тригонометрическая форма комплексного числа. Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно. Повторить с учащимися алгебраическую форму комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного числа и основные соотношения, связанные с ним. Пусть точка А соответствует комплексному числу z=a+bi. Тогда длина вектора ОА называется модулем числа z, а радианная мера угла, образованного этим вектором с положительным направлением действительной оси, - аргументом комплексного числа Z. Причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке. Модуль обозначается /z/ = r, а аргумент - argz = ( (см. рис. 2). Для числа z=0 аргумент не определяется, но в этом и только в этом случае число задается только своим модулем. Если комплексное число является действительным, то соответствующий ему вектор расположен на действительной оси, и понятие /z/ совпадает с известным понятием модуля действительного числа. Заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно. Но аргумент комплексного числа, в отличие от модуля, определяется не однозначно. Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга слагаемым, кратным 2(. На рис. 2 мы видим, что sin ( = b/r, а cos ( =a/r, отсюда а=r cos ( и b=r sin (, где r =(a2 + b2, т.о. действительная и мнимая части комплексного числа z=a+bi выражаются через его модуль /z/=r и аргумент (. Следовательно, комплексное число z может быть записано в виде z=r cos ( + i r sin (=r(cos (+i sin () - тригонометрическая форма записи комплексного числа. Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую: 1. Найти радиус r = (a2 + b2 2. Вычислить tg (1 =|b/a|. 3. По знакам a и b определить четверть, в которой находится число z. 3. Найти (, причем, если число находится: а) в I четверти, то ( = (1; б) во II четверти, то ( = ( - (1; в) в III четверти, то ( = ( + (1; г) в IV четверти, то ( = -(1, или ( = 2( -(1. 5. Записать комплексное число в тригонометрической форме: z = r (cos ( + i sin (). Или, чтобы не производить лишних вычислений, для того чтобы найти значение для ( по известным значениям sin ( и cos (, заполним таблицу и будем ею пользоваться: ( |0 |( 6 |( 4 |( 3 |( 2 |( |5( 6 |3( 4 |2( 3 |3( 2 |4( 3 |4( 4 |7( 6 |5( 3 |7( 4 |11( 6 |2( | |sin( |0 |1 2 |(2 2 |(3 2 | 1 |0 | 1 2 |(2 2 |(3 2 | -1 |-(3 2 |-(2 2 |-1 2 |-(3 2 |-(2 2 |-1 2 |0 | |cos( |1 |(3 2 |(2 2 | 1 2 |0 |-1 |-(3 2 |-(2 2 |- 1 2 |0 |-1 2 |-(2 2 |-(3 2 |1 2 |(2 2 |(3 2 |1 | |Переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической производится подстановкой в выражение z=r (cos ( + i sin () числовых значений cos ( и sin (, затем раскрываются скобки и производятся упрощения. Например: 1) z = 1+i /z/ r =( 12+12 =(2 sin( = 1 =2 cos( = 1 = 2 (( = 450 (2 2 (2 2 т.о z = a + bi = 1 + i = (2 (cos 450+ isin 450 =(2 (cos ( + sin () 4 4 2. z = 6( cos( + isin () = 6 (-1 + i*0) = 6*-1 = -6 (z = -6. Упражнения: 1. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа: а) (3-i ; б) 6+6i ; в) -2 ; г) i ; д) -1 - (3 i е) -3 (cos ( + isin ( 2 2 ; 7 7 ; ж) sin 48( + cos 48( ; з) 1 + cos 10( + isin 10( 9 9 2. Представьте в алгебраической форме комплексные числа : а) z = 2 (cos 225( + isin 225() ; б) z=3 (cos0( + isin 0() ; в) z = 5(cos ( + isin ( ; г) z = 2(cos ( + isin ( 2 2 3 3 3. Построить комплексные числа? А) z=2 (cos ( + isin ( ) 4 4 б) z = cos( + isin ( ; в) z =2 (cos 3( + isin 3( 4 4 ----------------------- [pic] [pic]