Материалы сайта
Это интересно
Лекции по Линейной алгебре
Абстрактная теория групп (продолжение) 9 Гомоморфизм. Гомоморфизм групп - это естественное обобщение понятия изоморфизма. Определение. Отображение групп [pic]называется гомоморфизмом, если оно сохраняет алгебраическую операцию, то есть [pic]: [pic]. Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются любые отображения. Примеры. 1. Разумеется, всякий изоморфизм является гомоморфизмом. 2. Тривиальное отображение [pic] является гомоморфизмом. 3. Если [pic]- любая подгруппа, то отображение вложения [pic] будет инъективным гомоморфизмом. 4. Пусть [pic]- нормальная подгруппа. Отображение [pic] группы G на факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку [pic]. Этот сюръективный гомоморфизм называется естественным. 5. По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения [pic] сохраняет операцию и, следовательно является гомоморфизмом. 6. Отображение [pic], которое каждому перемещению [pic] n- мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор [pic](см. лекцию №3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же лекции [pic]. Теорема (свойства гомоморфизма) Пусть [pic]- гомоморфизм групп, [pic] и [pic]- подгруппы. Тогда: 1. [pic], [pic]. 2. [pic]- подгруппа. 3. [pic]-подгруппа, причем нормальная, если таковой была [pic]. Доказательство. 1. [pic] и по признаку нейтрального элемента [pic]. Теперь имеем: [pic]. 2. Пусть p = ((h) , q = ((k) . Тогда [pic] и [pic]. По признаку подгруппы получаем 2. 3. Пусть [pic] то есть элементы p = ((h) , q = ((k) входят в [pic]. Тогда [pic] то есть [pic]. Пусть теперь подгруппа [pic]нормальна и [pic]- любой элемент. [pic] [pic] и потому [pic][pic]. Определение. Нормальная подгруппа [pic] называется ядром гомоморфизма [pic].Образ этого гомоморфизма обозначается [pic]. Теорема. Гомоморфизм ( инъективен тогда и только тогда, когда [pic] Доказательство. Поскольку [pic], указанное условие необходимо. С другой стороны, если [pic], то [pic] и если ядро тривиально, [pic] и отображение инъективно. Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Любой гомоморфизм [pic] можно представить как композицию естественного (сюръективного) гомоморфизма [pic], изоморфизма [pic] и (инъективного) гомоморфизма [pic] (вложения подгруппы в группу): [pic]. Доказательство. Гомоморфизмы p и i описаны выше (см. примеры) Построим изоморфизм (. Пусть [pic]. Элементами факторгруппы [pic] являются смежные классы Hg . Все элементы [pic] имеют одинаковые образы при отображении ( : [pic]. Поэтому формула [pic] определяет однозначное отображение [pic]. Проверим сохранение операции [pic] [pic].Поскольку отображение ( очевидно сюръективно, остается проверить его инъективность. Если [pic], то [pic] и потому [pic]. Следовательно, [pic] и по предыдущей теореме ( инъективно. Пусть [pic] - любой элемент. Имеем : [pic] [pic]. Следовательно, [pic]. 10 Циклические группы. Пусть G произвольная группа и [pic]- любой ее элемент. Если некоторая подгруппа [pic] содержит g , то она содержит и все степени [pic]. С другой стороны, множество [pic]очевидно является подгруппой G . Определение. Подгруппа Z(g) называется циклической подгруппой G с образующим элементом g. Если G = Z(g) , то и вся группа G называется циклической. Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g. Примеры 1. Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1. 2. Группа [pic] поворотов плоскости на углы кратные (((n является циклической с образующим элементом [pic]- поворотом на угол (((n. Здесь n = 1, 2, ... Теорема о структуре циклических групп. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Циклическая группа порядка n изоморфна Z / nZ . Доказательство. Пусть G = Z(g) - циклическая группа. По определению, отображение [pic]- сюръективно. По свойству степеней [pic] и потому ( - гомоморфизм. По теореме о гомоморфизме [pic]. H = Ker((Z. Если H - тривиальная подгруппа, то [pic]. Если H нетривиальна, то она содержит положительные числа. Пусть n - наименьшее положительное число входящее в H. Тогда nZ(H. Предположим, что в H есть и другие элементы то есть целые числа не делящееся на n нацело и k одно из них. Разделим k на n с остатком: k = qn +r , где 0 < r < n. Тогда r = k - qn ( H , что противоречит выбору n. Следовательно, nZ = H и теорема доказана. Отметим, что [pic]( Z / nZ . Замечание. В процессе доказательства было установлено, что каждая подгруппа группы Z имеет вид nZ , где n = 0 ,1 , 2 ,... Определение. Порядком элемента [pic] называется порядок соответствующей циклической подгруппы Z( g ) . Таким образом, если порядок g бесконечен, то все степени [pic] - различные элементы группы G. Если же этот порядок равен n, то элементы [pic] различны и исчерпывают все элементы из Z( g ), а [pic]N кратно n . Из теоремы Лагранжа вытекает, что порядок элемента является делителем порядка группы. Отсюда следует, что для всякого элемента g конечной группы G порядка n имеет место равенство [pic]. Следствие. Если G - группа простого порядка p, то [pic]- циклическая группа. В самом деле, пусть [pic] - любой элемент отличный от нейтрального. Тогда его порядок больше 1 и является делителем p, следовательно он равен p. Но в таком случае G = Z( g )([pic]. Теорема о подгруппах конечной циклической группы. Пусть G - циклическая группа порядка n и m - некоторый делитель n. Существует и притом только одна подгруппа H(G порядка m. Эта подгруппа циклична. Доказательство. По предыдущей теореме G(Z / nZ. Естественный гомоморфизм [pic] устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами H(G и теми подгруппами K(Z , которые содержат Ker( = nZ . Но, как отмечалось выше, всякая подгруппа K группы Z имеет вид kZ Если kZ(nZ , то k - делитель n и ((k) - образующая циклической группы H порядка m = n /k. Отсюда и следует утверждение теоремы. Верна и обратная теорема: если конечная группа G порядка n обладает тем свойством, что для всякого делителя m числа n существует и притом ровно одна подгруппа H порядка m, то G - циклическая группа. Доказательство. Будем говорить, что конечная группа G порядка N обладает свойством (Z), если для всякого делителя m числа N существует и притом только одна подгруппа H(G порядка m. Нам надо доказать, что всякая группа, обладающая свойством (Z) циклическая. Установим прежде всего некоторые свойства таких групп. Лемма. Если G обладает свойством (Z), то Любая подгруппа G нормальна. Если x и y два элемента такой группы и их порядки взаимно просты, то xy = yx. Если H подгруппа порядка m такой группы G порядка N и числа m и N/m взаимно просты, то H обладает свойством (Z). Доказательство леммы. 1. Пусть H(G . Для любого [pic] подгруппа [pic] имеет тот же порядок, что и H. По свойству (Z) [pic] то есть подгруппа H нормальна. 2. Пусть порядок x равен p, а порядок y равен q. По пункту 1) подгруппы Z(x) и Z(y) нормальны. Значит, Z(x)y = yZ(x) и xZ(y) = Z(y)x и потому для некоторых ( и ( [pic]. Следовательно, [pic]. Но, поскольку порядки подгрупп Z(x) и Z(y) взаимно просты, то [pic]. Следовательно, [pic] [pic] и потому xy = yx. Используя свойство (Z) , выберем в G подгруппу K порядка N/m. По 1) эта подгруппа нормальна, а поскольку порядки H и K взаимно просты, эти подгруппы пересекаются лишь по нейтральному элементу. Кроме того по 2) элементы этих подгрупп перестановочны между собой. Всевозможные произведения hk =kh, где h(H, k(K попарно различны, так как [pic]=e поскольку это единственный общий элемент этих подгрупп. Количество таких произведений равно m N/m = [pic] и, следовательно, они исчерпывают все элементы G. Сюръективное отображение [pic] является гомоморфизмом [pic] с ядром K. Пусть теперь число s является делителем m. Выберем в G подгруппу S порядка s. Поскольку s и N/m взаимно просты, [pic] и потому [pic] - подгруппа порядка s. Если бы подгрупп порядка s в H было несколько, то поскольку все они были бы и подгруппами G условие (Z) для G было бы нарушено. Тем самым мы проверили выполнение условия (S) для подгруппы H. Доказательство теоремы. Пусть [pic] - разложение числа N в произведение простых чисел. Проведем индукцию по k. Пусть сначала k = 1, то есть [pic]. Выберем в G элемент x максимального порядка [pic]. Пусть y любой другой элемент этой группы. Его порядок равен [pic], где u ( s. Группы [pic] и [pic] имеют одинаковые порядки и по свойству (Z) они совпадают. Поэтому [pic] и мы доказали, что x - образующий элемент циклической группы G. Пусть теорема уже доказана для всех меньших значений k. Представим N в виде произведения двух взаимно простых множителей N = pq (например, [pic]) . Пусть H и K подгруппы G порядка p и q. Использую 3) и предположение индукции , мы можем считать, что H = Z(x), K = Z(y), причем xy = yx . Элемент xy имеет порядок pq = N и, следовательно, является образующим элементом циклической группы G. 11. Некоторые теоремы о подгруппах конечных групп. Теорема Коши. Если порядок конечной группы делится на простое число p, то в ней имеется элемент порядка p. Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы, отметим, что если g(e и [pic], где p - простое число, то порядок g равен p. В самом деле, если m - порядок g, то p делится на m, откуда m=1 или m=p. Первое из этих равенств невозможно по условиям выбора g. Индукция , с помощью которой проводится доказательство теоремы, основана на следующей лемме Лемма. Если некоторая факторгруппа G/H конечной группы G имеет элемент порядка p, то тем же свойством обладает и сама группа G. Доказательство леммы. Пусть [pic] - элемент порядка p. Обозначим через m порядок элемента [pic]. Тогда [pic] и значит m делится на p. Но тогда [pic] - элемент порядка p. Доказательство теоремы Коши. Зафиксируем простое число p и будем проводить индукцию по порядку n группы G. Если n=p, то G(Z/pZ и теорема верна. Пусть теорема уже доказана для всех групп порядка меньше n и [pic], причем n делится на p. Рассмотрим последовательно несколько случаев G содержит собственную ( то есть не совпадающую со всей группой и нетривиальную) подгруппу H , порядок которой делится на p. В этом случае порядок H меньше n и по предположению индукции имеется элемент [pic] порядка p. Поскольку [pic] в этом случае теорема доказана. 1. G содержит собственную нормальную подгруппу. Если ее порядок делится на p, то по 1 теорема доказана. В противном случае на p делится порядок факторгруппы G/H и теорема в этом случае следует из доказанной выше леммы. 2. Если G - коммутативна, то возьмем любой [pic]. Если порядок g делится на p, то теорема доказана по 1, поскольку Z(g)(G. Если это не так, то , поскольку в коммутативной группе все подгруппы нормальны, теорема доказана по 2. 3. Остается рассмотреть случай, когда порядки всех собственных подгрупп G не делятся на p, группа G проста ( то есть не имеет собственных нормальных подгрупп ) и не коммутативна. Покажем, что этого быть не может. Поскольку центр группы G является нормальной подгруппой и не может совпадать со всей группой, он тривиален. Поэтому G можно рассматривать как группу преобразований сопряжения на множестве G. Рассмотрим разбиение множества G на классы сопряженных элементов: [pic]. Здесь отдельно выделен класс [pic] и классы неединичных элементов. Стабилизатор St(g) элемента g( e представляет собой подгруппу группы G, не совпадающую со всей группой. В самом деле, если St(g) = G, то g коммутирует со всеми элементами из G и потому g(Z(g) = {e}. Значит, порядок этой подгруппы не делится на p, а потому [pic] делится на p: [pic]. Но тогда [pic] - не делится на p, что не соответствует условию. Замечание. Если число p не является простым, то теорема неверна даже для коммутативных групп. Например, группа [pic] порядка 4 коммутативна, но не является циклической, а потому не имеет элементов порядка 4. Теорема о подгруппах коммутативной группы. Для конечной коммутативной группы G справедлива теорема обратная к теореме Лагранжа : если m - делитель порядка группы, то в G имеется подгруппа порядка m. Доказательство. Проведем индукцию по порядку n группы G. Для n = 2 теорема очевидна. Пусть для всех коммутативных групп порядка < n теорема доказана. Пусть простое p делит m . По теореме Коши в G имеется циклическая подгруппа S порядка p. Так как G коммутативна, S - нормальная подгруппа. В факторгруппе G/S используя предположение индукции выберем подгруппу K порядка m/p .Если [pic] естественный гомоморфизм, то [pic] - подгруппа G порядка m . Замечание. Для некоммутативных групп данная теорема неверна. Так, например, в группе [pic] четных перестановок степени 4, которая имеет порядок 12, нет подгрупп шестого порядка. 1.