Материалы сайта
Это интересно
Теория вероятности и мат статистика
Свойства многомерного нормального распределения Все одномерные плотности вероятности - это плотности вероятности одномерной нормальной случайной величины с параметрами, определяемыми координатами вектора X и главной диагональю ковариационной матрицы B. Кроме того, подвектор вектора [pic]из k элементов, где [pic]также распределен нормально. Если все коэффициенты корреляционной или ковариационной матрицы B (все ее недиагональные элементы) равны нулю, то показать самим, что компоненты случайной величины являются независимыми. [pic] если [pic],то многомерная плотность распадается на произведение одномерных, значит [pic] независимы. Теорема. [pic] Проводим линейное преобразование Y=AX. A - квадратная невырожденная матрица, тогда вектор Y также имеет n-мерное нормальное распределение вида [pic] Следствие: Из доказательства теоремы вытекает, что ковариационная матрица [pic] Оператор A переводит произвольную область из арифметического пространства Rn в некоторую область того же пространства. Рассмотрим произвольную область S, принадлежащую пространству элементарных событий случайной многомерной величины X. Ей соответствует область D в пространстве элементарных событий случайного вектора Y. При этом [pic] [pic] Запишем эти вероятности [pic] где |I| - якобиан перехода [pic] Т.к. область S и соответственно D произвольны, то плотность вероятности случайного вектора x равна [pic] n-мерная плотность вероятности случайного вектора Y равна [pic] Преобразуем показатель степени e [pic] Можно показать, что если нормальное распределение имеет данный вид, то B - ее ковариационная матрица [pic] Следствие. [pic]- многомерный нормальный вектор. A - прямоугольная матрица [pic] Тогда Y=AX имеет нормальное распределение вида [pic] Y - m-мерный вектор. Для определенности положим, что матрица A имеет вид A = (A1 A2) A1 - квадратная матрица размером [pic] A2 - матрица размерности [pic] Рассмотрим матрицу размерности [pic]. Считается, что m первых столбцов независимы. [pic] [pic] равен определителю полученной квадратной матрицы и не равен нулю. E - единственная квадратная матрица размерности [pic] Следовательно, на основании доказанной теоремы, вектор Y имеет многомерное нормальное распределение. Z=CX Компоненты вектора Z имеют вид [pic] [pic] Пусть матрица А произвольная, но т.к. ее ранг равен m она содержит m линейно независимых столбцов. Путем перестановки столбцом соберем эти столбцы в первые m. И соответствующим образом пронумеруем компоненты вектора Х. Попадаем в предыдущий случай. Предельные случайные последовательности. Рассмотрим вероятностное пространство [pic] в котором задана счетная последовательность случайных величин, каждая из которых является измеримой [pic] Покажем, что событие [pic] измеримо, т.е. имеет вероятность наступления. Действительно событие [pic] Каждое из этих событий в пересечении принадлежит [pic]- алгебре. По определению [pic]- алгебры ей принадлежит и счетное перечисление этих событий, таким образом событие имеет вероятность наступления. Пусть последовательность [pic] имеет предел при [pic], который может быть постоянной или случайной величиной. В теории вероятности этот предел понимают следующим образом: под сходимостью последовательности к пределу понимают событие А которое может задаваться следующим образом: 1. [pic] Событие А состоит из всех m, удовлетворяющих условию: для любого как угодно большого r существует такое m, что для всех n выполняется [pic] 2. А: Если предел [pic],то [pic] Для любого, как угодно большого r существует такое m, что для всех n выполняется [pic] 3.Если предел случайная величина, то [pic] Показать самим, что событие А с [pic]- алгебре и следовательно имеет вероятность наступления любое событие [pic] измеримо, как доказывалось ранее[pic] измеримы, и следовательно имеет вероятность наступления. Разность [pic]-алгебре. Следовательно событие А имеет вероятность наступления. Если предел константа, то эквиваленты 1 и 2, если случайная величина - то 1 и 3. Существующие определения сходимости случайных величин. Пусть имеется счетная последовательность случайных величин и пусть [pic]предел последовательности. 1. Счетная последовательность сходится к пределу с вероятностью 1, если Р(А)=1. Это не вероятность достоверного события. 2. Сходимость по поверхности. Счетная последовательность случайных величин [pic]сходится к [pic]по поверхности, если [pic] 3. Сходимость в среднеквадратичном. Последовательность случайных величин сходится к пределу в среднеквадратичном, если выполняется [pic] Покажем, что из сходимости в среднеквадратичном следует сходимость по вероятности. Воспользуемся Неравенством Чебышева [pic] При любом конечном r если выполняется сходимость в среднеквадратичном, то этот предел существует и равен 0, т.к. числитель сходится к 0, а знаменатель конечен. Теорема. Счетная последовательность [pic]сходится к пределу [pic] с вероятностью 1 только тогда, когда [pic] Указанное выше событие [pic]имеет своим дополнением событие [pic] и сходимость с вероятностью 1 означает, что P(B)=0. Очевидно, что условие теоремы достаточно рассмотреть для [pic]. Положим[pic] События Вrm, m=1,2,.... убывают, и для [pic] Докажем это. Будем искать P(Br) так [pic] Событие, обратное [pic] имеет следующую структуру: [pic] Показать самим, что следующее событие включает предыдущее. [pic] По построению справедлива следующая формула [pic] По третьей аксиоме теории вероятности [pic] Построенный ряд D1, D2...Dn образует неубывающую ограниченную последовательность, следовательно имеет предел сверху. Поэтому возможен переход [pic] Теорема Бернулли. Рассмотрим систему независимых испытаний Бернулли. [pic] Система испытаний неограниченна. С каждым i-видом испытаний свяжем дискретную величину Xi [pic] Хi принимают значения 1, если в i-том испытании произошло событие А и 0 - в противном случае [pic] Рассмотрим случайную величину[pic] - число появлений события А в n испытаниях