Материалы сайта
Это интересно
Серьёзные лекции по высшей экономической математике
Асимптотические формулы для формулы Бернулли. В практических задачах часто приходится вычислять вероятности различных событий, связанных с числом успехов в n испытаниях при больших значениях n. В этих случаях вычисления по формуле по формуле Бернулли становятся затруднительными. Трудности возрастают, когда приходится суммировать вероятности [pic]. К суммированию сводится вычисление вероятностей событий вида k ( x( l, как, например, в такой задаче: Проводится 70 испытаний по схеме Бернулли с вероятностью появления события А в одном испытании, равной 0,4. Найти вероятность того, что событие А произойдет от 25 до 35 раз, то есть найти Pn(25( x ( 35). В отдельных случаях при больших n удается заменить формулу Бернулли приближенными формулами. Такие формулы, которые получаются при условии [pic] называются асимптотическими. Если n достаточно велико, а p - величина очень малая, для формулы Бернулли имеет место приближенная (асимптотическая) формула [pic] Здесь [pic] ([pic] - греческая буква "лямбда"). Эта формула называется формулой Пуассона. По формуле Пуассона вычисляются вероятности числа появлений очень редких событий в массовых испытаниях. Задача. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. В течение часа любой абонент независимо от остальных может сделать вызов с вероятностью 0,05. Требуется найти вероятность того, что в течение часа было не более 7 вызовов. Здесь [pic]. Пусть x - число вызовов. Нас интересуют значения x, равные[pic] [pic] [pic] Если n достаточно велико, p не сильно отличается от 0,5, имеет место формула Муавра-Лапласа, иногда называемая локальной формулой Лапласа. [pic], где [pic] Из формулы видно, что одинаковые отклонения от величины np вправо и влево здесь имеют одинаковые вероятности. В формуле Бернулли это имеет место лишь при p=0.5. Чтобы определить вероятность того, что в 50 испытаниях по схеме Бернулли при p=0.45 событие А наступило 30 раз, нужно воспользоваться таблицей значений функции [pic]. Часто встречаются таблицы значений так называемой "локальной" функции Лапласа. [pic] Если n достаточно велико, а p не сильно отличается от 0,5, имеет место интегральная формула Лапласа: [pic] Здесь [pic] — функция Лапласа, значения которой определяются из таблиц. Для вычислений используются свойства функции Лапласа [pic] При t=3,5 [pic], и так как [pic] - монотонно возрастающая функция, в практических расчетах при [pic] можно принимать [pic]. Задача. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное 3, выпадает не менее 280 и не более 294 раз? Здесь [pic] [pic]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18