Материалы сайта
Это интересно
Сборник Лекций 2 по Мат.Анализу
§4. Производная по направлению. Пусть в плоскости XOY расположена точка M0(x0,y0). Зададим произвольный угол ( и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул x = x0 + t cos(, y = y0 + t sin(. (1) Здесь t - параметр, который может быть равен любому числу. Из формул (1) следует: (y - y0)/(x - x0) = tg( Это означает, что все точки M(x,y), координаты которых удовлетворяют равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) и составляющей угол ( с осью OX. Каждому значению t соответствует единственная точка M(x,y), лежащая на этой прямой, причем согласно формуле (1) из §1 расстояние между точками M0(x0,y0) и M(x,y) равно t. Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением, определяемым возрастанием параметра t. Обозначим положительное направление этой оси символом l. Производной функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) по направлению l называется число [pic]. (2) Производной функции по направлению можно дать геометрическую интерпретацию. Если через прямую l, определяемую формулами (1), провести вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном пространстве уравнения (1) определяют эту самую плоскость), то эта плоскость пересечет поверхность-график функции z = f(x,y) вдоль [pic] некоторой пространственной кривой L. Тангенс угла между горизонтальной плоскостью и касательной к этой кривой в точке M0(x0,y0) равен производной функции в этой точке по направлению l. [pic]В любом курсе математического анализа доказывается, что производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть представлена в виде [pic]. (3) Заметим, что частная производная по x тоже является производной по направлению. Это направление определяется равенствами: cos( = 1; sin( = 0. Аналогично частная производная по y — это производная по направлению, которое можно задать условиями cos( = 0; sin( = 1. Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем некоторые понятия и факты из курса векторной алгебры. Пусть в плоскости с системой координат XOY задан направленный отрезок [pic] или (что то же самое) вектор, причем точка M0(x0,y0) является его начальной точкой, а M1(x1,y1) - конечной точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x1 - x0, а координату по оси [pic], как число, равное y1 - y0. Если задать упорядоченную пару любых чисел a и b, то эти числа можно рассматривать как координаты некоторого вектора [pic] в плоскости XOY, причем длина этого вектора определена формулой [pic], а тангенс угла наклона ( вектора к оси OX определяется из формулы tg( = b/a (отметим, что зная величину tg( , а также знак любого из чисел a и b, мы можем определить угол ( с точностью до 2( ). Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде [pic] или [pic]. Такое представление имеет одну характерную особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY. Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать, например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора. Если заданы два вектора: [pic] и [pic], то скалярным произведением [pic] этих векторов называется число [pic] ((- угол между векторами). В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное произведение векторов [pic] и [pic] равно сумме произведений одноименных координат этих векторов: [pic] = a1b1 + a2b2. (4) Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z = f(x,y), имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам. Градиентом или вектором-градиентом [pic] функции f(x,y) в точке (x,y) ( G называется вектор, который задается формулой [pic]. Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки. Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них - вектор- градиент функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0): [pic]. Второй – вектор [pic]. Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси [pic], равный (. Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f(x,y) по направлению, определяемому углом ( наклона к оси OX, в точке M0(x0,y0) может быть вычислена по формуле [pic]. (5) Здесь ( - угол между вектором [pic] и вектором [pic], задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что [pic]. Из формулы (5) можно сделать очень важное заключение: производная по направлению от функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) достигает наибольшего значения, если это направление совпадает с направлением вектора-градиента функции в рассматриваемой точке, так как cos( ( 1, и равенство достигается только если ( = 0 (очевидно, что другие решения уравнения cos( = 1 нас в данном случае не интересуют). Иначе можно сказать, что вектор-градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке. Кроме того из формулы (5) следует, что наибольшее значение производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке. Пример. Требуется найти производную функции [pic] по направлению, составляющему угол в 60( с осью OX, в точке (1;3). Найдем частные производные функции: [pic] Теперь можно определить градиент функции в точке (1;3): [pic]. Принимая во внимание равенство [pic], воспользуемся формулой (4): [pic].