Материалы сайта
Это интересно
Сборник Лекций по матану
§9. Неопределенный интеграл. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех x((a;b) выполняется равенство F((x) = f(x). Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3. Если для F(x) установлено равенство dF(x) = f(x)dx, то F(x) ( первообразная для f(x), так как [pic]. Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции. Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x) + C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b). Доказательство. (F + C)( = F( + C( = f + 0 = f По определению F + C ( первообразная для f. Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы. Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g((x) = 0. Доказательство. Так как g(x) = C, справедливы равенства: g((x) = C( = 0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число). Если g((x) = 0 при всех x((a;b), то g(x) = C на (a;b). Доказательство. Пусть g((x) = 0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x1((a;b). Тогда для любой точки x((a;b) по формуле Лагранжа имеем g(x) – g(x1) = g((()(x – x1) Так как (((x; x1), а точки x и x1 принадлежат промежутку (a;b), то g((() = 0, откуда следует, что g(x) – g(x1)=0, то есть g(x) = g(x1)=const. Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G = F + C, где C – число. Доказательство. Возьмем производную от разности G – F: (G – F)( = G( – F( = = f – f = 0. Отсюда следует: G – F = C, где C ( число, то есть G = F + C. Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается (f(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то (f(x)dx = F(x) + C, где C – произвольное число. Вычисление неопределенного интеграла от заданной функции называется интегрированием. Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления F((x) = f(x) соответствует формула (f(x) dx = F(x) + C интегрального исчисления. Отсюда получается таблица неопределенных интегралов: |1) ( dx = x + C; | 7) ( cosx dx = sinx + C; | |2) ( x(dx=[pic](((1); | 8) [pic]; | |3) [pic]; | 9) [pic]; | |4) ( exdx =ex+C; |10) [pic] | |5) ( axdx =axlogae+C (((1) ; |11) [pic] | |6) ( sinx dx=-cosx + C; |12) [pic]. | Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами: |1) ( (f(x) dx )(=f(x); |4) (d f(x)=f(x)+C ; | |2) (f( (x) dx= f(x)+C ; |5) (kf(x)dx=k(f(x) dx; | |3) d (f(x) dx= f(x)dx; |6) ((f(x)+g(x))dx=( f(x) dx+(g(x) | | |dx ; | |Если (f(x) dx = F(x) + C, то (f(ax+b) dx =[pic] | |(a ( 0). | Все эти свойства непосредственно следуют из определения. §10. Замена переменной в неопределенном интеграле Если функция f(x) непрерывна, а функция ((t) имеет непрерывную производную (((t), то имеет место формула ( f(((t))(((t) dt = ( f(x) dx, где x = ((t). Можно привести примеры вычисления интеграла с помощью перехода от левой части к правой в этой формуле, а можно привести примеры обратного перехода. Примеры. 1. I = ( cos(t3) t2 dt. Пусть t3 = x, тогда dx = 3t2dt или t2dt = dx/3. [pic]. 2. [pic]. Пусть ln t = x, тогда dx = dt/t. [pic] 3. [pic]. Пусть x = cos t, тогда dx = - sint dt, и [pic]. 4. [pic]. Пусть x = sin t, тогда dx = cos dt, и [pic]. §11. Формула интегрирования по частям Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда (uv)( = u(v + v(u Отсюда следует ( (uv)(dx = ( (u(v + v(u )dx = ( u(v dx + ( v(u dx или ( uv( dx = uv – ( u(v dx . Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям: ( u(x)dv(x) = u(x) v(x) – ( v(x)du(x) Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям. Примеры. 1. I = ( x cosx dx. Пусть u = x; dv = cosx dx, тогда du = dx; v = sinx. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается: I = x sinx – ( sinx dx = x sinx + cosx + C. 2. I = ( (x2 – 3x + 2) e5xdx. Пусть x2 – 3x + 2 = u; e5xdx = dv. Тогда du = (2x – 3) dx; [pic]. [pic]. К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 2x - 3 = u; e5xdx = dv. Отсюда следует: du = 2dx; [pic], и окончательно получаем: [pic] [pic]. 3. [pic]; [pic]; [pic] [pic] [pic]. В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12: [pic]. Представим дробь [pic] в виде суммы двух дробей: [pic] и [pic], и попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства [pic] получим систему уравнений [pic] с решением [pic]. Отсюда следует: [pic]. Полученный интеграл в обиходе обычно называют “высоким логарифмом”. Метод, которым он был найден, называется методом “неопределенных коэффициентов”. Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.