Материалы сайта
Это интересно
Модель рассеяния электромагнитной волны параллелепипедом из диэлектрика с потерями
Содержание Введение.................................................................... ..................................... Основные уравнения................................................................... .................. Фурье-компоненты рассеянной волны...................................................... Уравнения Виннера- Хопфа.................................................................... ...... Приближенные решения.................................................................. ............ Примеры расчетов и примеры экспериментов......................................... Заключение............................................................... ..................................... МОДЕЛЬ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ ИЗ ДИЭЛЕКТИКА С ПОТЕРЯМИ. ВВЕДЕНИЕ. В настоящей статье изучается задача рассеяния плоской волны параллелепипедом из диэлектрика с потерями, причем считается, что размеры параллелепипеда сравнительно больше по отношению к длине волны. При исследовании используется метод Виннера-Хопфа. А именно, посредством обобщения решения задачи для полубесконечного тела, полученного в работе Джоунса, попытаемся распространить результаты для полубесконечных пластин из диэлектрика с большим потерями так же, как было получено решение для параллелепипеда из проводника. Само собой разумеется, что полученные результаты совпадают с решением для случая идеального проводника, если считать удельную электрическую проводимость бесконечно большой. В качестве характерной особенности предлагаемого метода, по- видимому, можно указать на то, что этот метод, так же как и метод в случае параллелепипеда из проводника, оказывается чрезвычайно эффективным в применении к телам с поперечным сечением в виде продолговатого прямоугольника, большая сторона которого сравнительно велика по отношению к длине волны. Конечно, в случае больших размеров тел приближение геометрической оптики и приближение физической оптики могут практически применяться в качестве наиболее простых методов, однако, для того, чтобы знать в каком диапазоне размеров эти приближения являются верными, необходимо выполнить точные расчеты и провести эксперименты. В данной работе приводятся также и результаты модельных экспериментов, в которых использовались микроволны; проведено сравнительное изучение с результатами расчетов. Что касается среды с большими потерями, то в параллелепипеде закреплялся бетон, а в качестве проводника использовалась алюминиевая пластина, изготовленная в виде параллелепипеда. На рис.1 представлено схематическое изображение параллелепипеда и геометрические данные рассматриваемой задачи. В данном случае исследуется задача рассеяния (двухмерная) плоской волны (Е-волны), падающей на параллелепипед из диэлектрика с большими потерями под углом ( к оси х. Ширина параллелепипеда равна 2а, толщина - 2b. Считаем, что изменение во времени описывается фактором [pic]. Рис.1. Схематическое изображение данных задаче ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Полное электромагнитное поле (t), рассеянная волна (S) и падающая волна (i) связаны следующим соотношением: [pic] ( 1 ) Считаем, что падающая плоская волна в рассматриваемой задаче может быть задана в следующем виде: [pic] [pic] ( 2 ) [pic] Здесь: [pic], [pic]- диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость в вакууме. В силу строения рассеивающего тела (двухмерности задачи) плоскость поляризации неизменна, уравнения Максвелла можно записать в следующем виде: [pic] (3) Здесь индекс j=0 относится к волновому уравнению в вакууме, а j=1 - к волновому уравнению в среде с потерями. Кроме того, величины (, ( представляют собой диэлектрическую проницаемость и удельную электрическую проводимость среды с потерями, [pic] обозначает комплексную относительную диэлектрическую проницаемость. Решение уравнений (3) в данной задаче можно отыскивать так, чтобы удовлетворялись следующие граничные условия: (В1) условия излучения вовне при r ( ( ; (В2) непрерывность [pic]при | y |=b ; (В3) непрерывность [pic] при | x |=a, | y |=b ; (В4) непрерывность [pic] при | y |=b ; (В5) условия концевой точки при | x |=a , | y |=b . При решении задачи используется преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье, которые определяются ниже следующим образом: [pic] (4) Здесь контур интегрирования С в обратном преобразовании представляет собой контур интегрирования в интеграле с бесконечными пределами, находящийся в общей области Д( , которая может быть получена на основании предположения о том, что в вакууме имеются незначительные потери (JmK0<0) (область Д, не являющаяся общей, обусловлена существованием полюса (=(0, сопутствующего падающей волне). [pic] Рис.2. Плоскость комплексной переменной ( и контур интегрирования С ФУРЬЕ-КОМПОНЕНТЫ РАССЕЯНОЙ ВОЛНЫ Для проведения исследования дальше разложим рассеянную волну на три электромагнитные волны следующим образом: [pic], (5) причем считаем, что каждая электромагнитная волна при | y | ( b удовлетворяет следующим соотношениям: [pic] (6) Здесь: L(x) - ступенчатая функция: [pic] (7) Смысл индексов, которыми снабжены каждая из электромагнитных волн, как видно из формул (6), определяющих эти электромагнитные волны, заключается в следующем. Нижний индекс «0»соответствует тому, что поле удовлетворяет волновому уравнению в вакууме, а индекс «1» - тому, что поле удовлетворяет волновому уравнению в среде с потерями. Другими словами, эти индексы соответствуют значениям индекса j=0, 1 в уравнениях (3). Кроме того, верхний значок (+) указывает на то, что данное поле имеет смысл только при x >a, а значок (-) - на то, что рассматриваемое поле имеет смысл только при x <-a. В силу этих определений делаются особенно ясными аналитические свойства Фурье- компонент каждой электромагнитной волны и становится возможным выполнение исследования, основанного на теоретико-функциональных рассуждениях. Найдем теперь Фурье-компоненты рассеянной волны. Прежде всего посредством перехода к прямому преобразованию Фурье в волновом уравнении (3) при | y | ( b можно получить следующее уравнение: [pic] (8) Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям (В1), (В2), может быть записано следующими образом: [pic] (9) Считаем здесь, что ветвление [pic] выбирается условием [pic]. Кроме того, неизвестные функции представляют собой, как показывают приводимые ниже формулы, Фурье-компоненты рассеянной волны при | y | = b. Наконец, точка [pic] представляет собой полюс, происходящий от падающей волны: [pic] (10) [pic] (11) Здесь значок справа у неизвестной функции [pic] указывает на то, что в случае значка «+» эта функция регулярна в верхней полуплоскости ( в области U ), а в случае значка « - » рассматриваемая функция регулярна в нижней полуплоскости ( в области L ). В дальнейшем используется этот способ обозначений. С другой стороны, при | y | ( b существует разрыв в среде. В результате выполнения прямого преобразования Фурье в волновом уравнении (3) оно превращается в следующие дифференциальные уравнения неодинакового порядка: [pic] (12) Здесь «вынужденные» члены в правых частях можно вывести, принимая во внимание то обстоятельство, что величины в соотношениях (6) и падающая волна ([pic]) непрерывны при | x | = a. Из уравнений (3) следует, что [pic] представляет собой производную [pic], умноженную на постоянный коэффициент, поэтому, полагая [pic] (13) можем добиться того, чтобы удовлетворялось граничное условие (В3). В приведенных соотношениях символ производной [pic] означает, что в производной [pic] выполнен предельный переход [pic]. Таким образом, разлагая волну на торцевой плоскости ( при | x | = ( ) в следующий ряд, можем легко найти специальные решения уравнений (12): [pic] (14) [pic] (15) Что касается соотношений (14), то они превращаются в специальный способ разложения в ряд Фурье. Иначе говоря, представляют собой разложения по системе ортогональных функций, превращающихся в нуль при | y | =b. Физически они представляют собой собственные колебания плоскопараллельного волновода. Достаточность таких разложений будет видна из обсуждения свойств регулярности, о которых речь идет ниже. Окончательно, в качестве решения уравнений (12), удовлетворяющих граничным условиям (В2), (В3), можем записать следующие выражения : [pic](16 Здесь члены рядов представляют собой частные решения. Кроме того, неизвестные функции, снабженные нижними индексами C, S, представляют собой, с учетом свойств четности в соотношениях (10), следующие выражения ( j=0, 1): [pic] (17) Наконец, выполняются следующие соотношения ( j=0, 1, q= c, s): [pic] (18) В заключение обсудим коэффициенты разложений в формулах (14). Как отмечалось и при разъяснении формул (6), выступающих в качестве определений, за исключением членов, связанных с падающей волной (известные выражения), функция [pic] определена при x>(, а функция [pic] определена при x<-(. Это означает, что Фурье-компоненты этих функций обладают следующим свойствами регулярности, за исключением полюса при [pic]=[pic]( : компонента [pic]регулярна в верхней полуплоскости (области U), а компонента [pic] регулярна в нижней полуплоскости (области L). С другой стороны, функция [pic] определена на ограниченном интервале -a