Материалы сайта
Это интересно
Конспект по дискретной математики
Дискретная математика Введение Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации… Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок. В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела: 1. Язык дискретной математики; 2. Логические функции и автоматы; 3. Теория алгоритмов; 4. Графы и дискретные экстремальные задачи. Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования. Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений. Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи. Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ. Множества и операции над ними Одно из основных понятий математики – множество. Определение: Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов. Множество обозначают: M,N ….. m1, m2, mn – элементы множества. Символика A ( M – принадлежность элемента к множеству; А ( М – непринадлежность элемента к множеству. Примеры числовых множеств: 1,2,3,… множество натуральных чисел N; …,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z. [pic] множество рациональных чисел а. I – множество иррациональных чисел. R – множество действительных чисел. K – множество комплексных чисел. Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В. А ( В – А подмножество В (нестрогое включение) Множества А и В равны, если их элементы совпадают. A = B Если А ( В и А ( В то А ( В (строгое включение). Множества бывают конечные и бесконечные. |М| - мощность множества (число его элементов). Конечное множество имеет конечное количество элементов. Пустое множество не содержит элементов: M = (. Пример: пустое множество: 1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = (. 2) множество (, сумма углов которого ( 1800 пустое: M = (. Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным. Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики … Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n. Если [pic], состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным. Множество можно задать: 1) Списком элементов {a,b,c,d,e}; 2) Интервалом 1очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное главная диагональ содержит нули Пр. отношнний ( рефлексивное < антирефлексивное 2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное. Пр. Если а ( b и b ( a ==> a=b 3. Если дано ( a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным. 4. Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Пр. отношение равенства E 5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Пр. а) отношение ( u ( для чисел отношение нестрогого б) отношение < u > для чисел отношение строгого Лекция: Элементы общей алгебры Р. Операции на множествах Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций ( = {(1,…, (m}, т.е. система А = {М1;(1,…, (m} называется алгеброй. ( - сигнатура. Если M1(M и если значения (( M1), т.е. замкнуто ==> A1={М1;(1,…, (m} подалгебра A. Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и поэтому тип этой алгебры (2;2) 2. B=(Б;(;() – булева алгебра. тип операций (2;2;1) Р. Свойства бинарных алгебраических операций запись a(b. 1. (a(b)(c=a((b(c) – ассоциативная операция Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно 2. a(b = b(a – коммутативная операция Пр. +,x – коммутат. –; : – некоммут. умножение мат A(B ( B(A – некоммутативно. 3. a((b(c) = (a(b) ((a(c) –дистрибутивность слева (a(b)(c) = (a(с) ((b(c) –дистрибутивность справа. Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа но не abc ( abac Р. Гомоморфизм и изоморфизм Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; (I) и B=(M; (I) – одинакового типа. Пусть отображение Г:K(M при условии Г((I)= (I(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции (I b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение (I в В. Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В. Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г-1. Мощности изоморфных алгебр равны. Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b. Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически …. на изоморфные алгебры. ----------------------- А В A C B A B Объединение трех множеств: AUB AUB А В А В С В А А В A B A \ B а) взаимнооднозначное соответствеие (отображение) а) не взаимнооднозначное соответствеие (отображение) Мх My x=2 ( y=2 y=2 ( x=2..4 не взаимнооднозначное соответствие. 2 2 3 4 y X -(/2 (/2 1-ый элемент 1-го множества 1-ый элемент 2-го множества } 1 1 С= 101 010 001